Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem22 35944
Description: Lemma for knoppndv 35945. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem22.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem22.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem22.w ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
knoppndvlem22.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem22.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
knoppndvlem22.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
knoppndvlem22.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„)
knoppndvlem22.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem22.1 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem22 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) < ๐ท โˆง ๐‘Ž โ‰  ๐‘) โˆง ๐ธ โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐‘Ž))) / (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))
Distinct variable groups:   ๐ถ,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐ท,๐‘Ž,๐‘   ๐ท,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘   ๐‘–,๐ธ,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘–,๐น,๐‘ค   ๐ป,๐‘Ž,๐‘   ๐‘,๐‘Ž,๐‘   ๐‘–,๐‘,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘–,๐‘ค   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘Š,๐‘Ž,๐‘   ๐œ‘,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘Ž,๐‘)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘Ž,๐‘)   ๐ท(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐ธ(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›,๐‘Ž,๐‘)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem knoppndvlem22
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem22.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
2 knoppndvlem22.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 knoppndvlem22.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
4 knoppndvlem22.e . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
5 knoppndvlem22.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
61, 2, 5knoppndvlem20 35942 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
71, 2, 3, 4, 6, 5knoppndvlem18 35940 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))
8 knoppndvlem22.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
9 knoppndvlem22.f . . 3 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
10 knoppndvlem22.w . . 3 ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
11 eqid 2727 . . 3 (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) = (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
121adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
133adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
144adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
15 knoppndvlem22.h . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„)
1615adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ ๐ป โˆˆ โ„)
17 simprl 770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
182adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
195adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
20 simprrl 780 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท)
21 simprrr 781 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21knoppndvlem21 35943 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐‘—) / 2) < ๐ท โˆง ๐ธ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘—) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))))))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) < ๐ท โˆง ๐‘Ž โ‰  ๐‘) โˆง ๐ธ โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐‘Ž))) / (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))
237, 22rexlimddv 3156 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ((๐‘Ž โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) < ๐ท โˆง ๐‘Ž โ‰  ๐‘) โˆง ๐ธ โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐‘Ž))) / (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„•0cn0 12494  โ„+crp 12998  (,)cioo 13348  โŒŠcfl 13779  โ†‘cexp 14050  abscabs 15205  ฮฃcsu 15656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ulm 26300
This theorem is referenced by:  knoppndv  35945
  Copyright terms: Public domain W3C validator