Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem22 35944
Description: Lemma for knoppndv 35945. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem22.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem22.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem22.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem22.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem22.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
knoppndvlem22.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
knoppndvlem22.h (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem22.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem22.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem22 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝐷,𝑎,𝑏   𝐷,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝐸,𝑎,𝑏   𝑖,𝐸,𝑛,𝑤,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝐻,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑁,𝑖,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem22
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem22.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2 knoppndvlem22.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 knoppndvlem22.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
4 knoppndvlem22.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5 knoppndvlem22.1 . . . 4 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
61, 2, 5knoppndvlem20 35942 . . 3 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)
71, 2, 3, 4, 6, 5knoppndvlem18 35940 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))
8 knoppndvlem22.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
9 knoppndvlem22.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
10 knoppndvlem22.w . . 3 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
11 eqid 2727 . . 3 (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
121adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
133adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
144adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
15 knoppndvlem22.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐻 ∈ ℝ)
17 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
182adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
195adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
20 simprrl 780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
21 simprrr 781 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21knoppndvlem21 35943 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
237, 22rexlimddv 3156 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wrex 3065   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  cn 12234  2c2 12289  0cn0 12494  +crp 12998  (,)cioo 13348  cfl 13779  cexp 14050  abscabs 15205  Σcsu 15656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ulm 26300
This theorem is referenced by:  knoppndv  35945
  Copyright terms: Public domain W3C validator