Theorem isran 50735

Description: A right Kan extension is a universal pair. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isran.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
isran.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
isran.k	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
isran.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isran	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))

Proof of Theorem isran

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isran.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋))
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
4		ranrcl 50729	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
5	1, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
6	5	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7	5	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
8		isran.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨𝐽, 𝐾⟩)
9		isran.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
10		isran.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
11	2, 3, 6, 7, 8, 9, 10	ranval 50727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋) = (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))
12	1, 11	eleqtrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (⟨𝐽, tpos 𝐾⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  tpos ctpos 8242  oppCatcoppc 17885   Func cfunc 18029   FuncCat cfuc 18120   UP cup 50280   −∘_F cprcof 50480   Ran cran 50713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-hom 17452  df-cco 17453  df-cat 17842  df-cid 17843  df-func 18033  df-cofu 18035  df-nat 18121  df-fuc 18122  df-xpc 18346  df-curf 18388  df-oppf 50230  df-swapf 50367  df-fuco 50424  df-prcof 50481  df-ran 50715

This theorem is used by:  isran2  50736  ranval2  50737