Theorem 3lcm2e6 16786

Description: The least common multiple of three and two is six. The operands are unequal primes and thus coprime, so the result is (the absolute value of) their product. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12310	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt3 12409	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
3	1, 2	gtneii 11317	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
4		3prm 16747	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
5		2prm 16745	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
6		prmrp 16766	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
8	3, 7	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
9	8	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = ((3 lcm 2) · 1)
10		3nn 12315	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
11		2nn 12309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		lcmgcdnn 16664	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
13	10, 11, 12	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2)
14	10	nnzi 12613	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	11	nnzi 12613	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		lcmcl 16654	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
17	14, 15, 16	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 12511	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
19	18	mulridi 11208	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · 1) = (3 lcm 2)
20	9, 13, 19	3eqtr3ri 2795	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = (3 · 2)
21		3t2e6 12401	. 2 ⊢ (3 · 2) = 6
22	20, 21	eqtri 2786	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  1c1 11096   · cmul 11100  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  6c6 12294  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586   gcd cgcd 16547   lcm clcm 16641  ℙcprime 16724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-lcm 16643  df-prm 16725

This theorem is referenced by:  lcm3un  42782