Theorem 3lcm2e6 16650

Description: The least common multiple of three and two is six. The operands are unequal primes and thus coprime, so the result is (the absolute value of) their product. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12268	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt3 12366	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
3	1, 2	gtneii 11308	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
4		3prm 16613	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
5		2prm 16611	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
6		prmrp 16631	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
8	3, 7	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
9	8	oveq2i 7404	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = ((3 lcm 2) · 1)
10		3nn 12273	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
11		2nn 12267	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		lcmgcdnn 16530	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
13	10, 11, 12	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2)
14	10	nnzi 12568	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	11	nnzi 12568	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		lcmcl 16520	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
17	14, 15, 16	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 12466	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
19	18	mulridi 11200	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · 1) = (3 lcm 2)
20	9, 13, 19	3eqtr3ri 2768	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = (3 · 2)
21		3t2e6 12360	. 2 ⊢ (3 · 2) = 6
22	20, 21	eqtri 2759	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  (class class class)co 7393  1c1 11093   · cmul 11097  ℕcn 12194  2c2 12249  3c3 12250  6c6 12253  ℕ₀cn0 12454  ℤcz 12540   gcd cgcd 16417   lcm clcm 16507  ℙcprime 16590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-lcm 16509  df-prm 16591

This theorem is referenced by:  lcm3un  40685