Theorem 3lcm2e6 16813

Description: The least common multiple of three and two is six. The operands are unequal primes and thus coprime, so the result is (the absolute value of) their product. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12330	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt3 12429	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
3	1, 2	gtneii 11337	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
4		3prm 16774	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
5		2prm 16772	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
6		prmrp 16793	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
8	3, 7	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
9	8	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = ((3 lcm 2) · 1)
10		3nn 12335	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
11		2nn 12329	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		lcmgcdnn 16691	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
13	10, 11, 12	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2)
14	10	nnzi 12633	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	11	nnzi 12633	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		lcmcl 16681	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 12531	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
19	18	mulridi 11228	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · 1) = (3 lcm 2)
20	9, 13, 19	3eqtr3ri 2797	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = (3 · 2)
21		3t2e6 12421	. 2 ⊢ (3 · 2) = 6
22	20, 21	eqtri 2788	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7419  1c1 11116   · cmul 11120  ℕcn 12248  2c2 12310  3c3 12311  6c6 12314  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606   gcd cgcd 16574   lcm clcm 16668  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-gcd 16575  df-lcm 16670  df-prm 16752

This theorem is used by:  lcm3un  42840