Theorem 3lcm2e6 16693

Description: The least common multiple of three and two is six. The operands are unequal primes and thus coprime, so the result is (the absolute value of) their product. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12246	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt3 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
3	1, 2	gtneii 11249	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
4		3prm 16654	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
5		2prm 16652	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
6		prmrp 16673	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
7	4, 5, 6	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
8	3, 7	mpbir 232	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
9	8	oveq2i 7367	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = ((3 lcm 2) · 1)
10		3nn 12251	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
11		2nn 12245	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		lcmgcdnn 16571	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
13	10, 11, 12	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2)
14	10	nnzi 12542	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	11	nnzi 12542	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		lcmcl 16561	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
17	14, 15, 16	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 12440	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
19	18	mulridi 11140	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · 1) = (3 lcm 2)
20	9, 13, 19	3eqtr3ri 2771	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = (3 · 2)
21		3t2e6 12333	. 2 ⊢ (3 · 2) = 6
22	20, 21	eqtri 2762	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  1c1 11030   · cmul 11034  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  6c6 12231  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515   gcd cgcd 16454   lcm clcm 16548  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-lcm 16550  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  lcm3un  42500