Theorem 3lcm2e6 15901

Description: The least common multiple of three and two is six. The operands are unequal primes and thus coprime, so the result is (the absolute value of) their product. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11559	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt3 11657	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
3	1, 2	gtneii 10599	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
4		3prm 15867	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
5		2prm 15865	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
6		prmrp 15885	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
7	4, 5, 6	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
8	3, 7	mpbir 232	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
9	8	oveq2i 7027	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = ((3 lcm 2) · 1)
10		3nn 11564	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
11		2nn 11558	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		lcmgcdnn 15784	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
13	10, 11, 12	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2)
14	10	nnzi 11855	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
15	11	nnzi 11855	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		lcmcl 15774	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
17	14, 15, 16	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 11757	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
19	18	mulid1i 10491	. . 3 ⊢ ((3 lcm 2) · 1) = (3 lcm 2)
20	9, 13, 19	3eqtr3ri 2828	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = (3 · 2)
21		3t2e6 11651	. 2 ⊢ (3 · 2) = 6
22	20, 21	eqtri 2819	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  (class class class)co 7016  1c1 10384   · cmul 10388  ℕcn 11486  2c2 11540  3c3 11541  6c6 11544  ℕ₀cn0 11745  ℤcz 11829   gcd cgcd 15676   lcm clcm 15761  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-lcm 15763  df-prm 15845

This theorem is referenced by: (None)