Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem37 41108
Description: Lemma for lcfr 41114. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem17.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
lcfrlem22.b 𝐡 = ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
lcfrlem24.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘†)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfrlem24.j 𝐽 = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
lcfrlem24.ib (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem28.jn (πœ‘ β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invrβ€˜π‘†)
lcfrlem30.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
lcfrlem30.c 𝐢 = ((π½β€˜π‘‹) βˆ’ (((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ)))
lcfrlem37.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π·))
lcfrlem37.gs (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)})
lcfrlem37.e 𝐸 = βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))
lcfrlem37.xe (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem37.ye (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝑀,π‘₯, βŠ₯   + ,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑅,π‘˜,𝑣,π‘₯   𝑆,π‘˜   Β· ,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘˜,𝑋,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘˜,π‘Œ,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘₯, 0   𝑓,𝐽   𝑓,𝐿   βŠ₯ ,𝑓   + ,𝑓   𝑅,𝑓   Β· ,𝑓   π‘ˆ,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑔   𝐢,𝑔,π‘˜   𝐷,𝑔,π‘˜   𝑔,𝐺,π‘˜   𝑔,𝐼,π‘˜   𝑓,𝑔,𝐽,π‘˜   𝑔,𝐿,π‘˜   βŠ₯ ,𝑔   + ,𝑔   𝑄,𝑔,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   𝑔,𝑉   𝑔,𝑋   𝑔,π‘Œ   πœ‘,𝑔,π‘˜   𝑣,𝑔,𝑀,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝐴(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝐷(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝑄(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝑅(𝑀,𝑔)   𝑆(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔)   Β· (𝑔)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑔)   𝐸(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝐻(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐼(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝐽(π‘₯,𝑀,𝑣)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑀,𝑣)   βˆ’ (π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑁(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑉(𝑀,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   0 (𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5 𝐢 = ((π½β€˜π‘‹) βˆ’ (((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ)))
2 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
3 lcfrlem30.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
4 eqid 2725 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π·) = (LSubSpβ€˜π·)
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
85, 6, 7dvhlmod 40639 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
9 lcfrlem37.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π·))
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
17 eqid 2725 . . . . . . 7 (LFnlβ€˜π‘ˆ) = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
20 eqid 2725 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)} = {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)}
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)})
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7 𝐸 = βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
26 eldifsni 4789 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
28 eldifsn 4786 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐸 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
2924, 27, 28sylanbrc 581 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐸 βˆ– { 0 }))
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 41087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ 𝐺)
31 eqid 2725 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8 𝐡 = ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8 𝑄 = (0gβ€˜π‘†)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8 𝐹 = (invrβ€˜π‘†)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 41100 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ)) ∈ 𝑅)
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
43 eldifsni 4789 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ π‘Œ β‰  0 )
4434, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
45 eldifsn 4786 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (𝐸 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ β‰  0 ))
4642, 44, 45sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐸 βˆ– { 0 }))
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 41087 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘Œ) ∈ 𝐺)
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 38686 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐺)
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 38687 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π½β€˜π‘‹) βˆ’ (((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ))) ∈ 𝐺)
501, 49eqeltrid 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐺)
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 41107 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)))
52 2fveq3 6897 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐢 β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) = ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)))
5352eleq2d 2811 . . . . 5 (𝑔 = 𝐢 β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ))))
5453rspcev 3601 . . . 4 ((𝐢 ∈ 𝐺 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
5550, 51, 54syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
56 eliun 4995 . . 3 ((𝑋 + π‘Œ) ∈ βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
5755, 56sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
5857, 23eleqtrrdi 2836 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βˆ– cdif 3936   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  {csn 4624  {cpr 4626  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  -gcsg 18896  invrcinvr 20330  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  LSAtomsclsa 38502  LFnlclfn 38585  LKerclk 38613  LDualcld 38651  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  ocHcoch 40876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  41109
  Copyright terms: Public domain W3C validator