Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem37 41561
Description: Lemma for lcfr 41567. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
lcfrlem37.g (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
lcfrlem37.gs (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
lcfrlem37.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem37.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem37.ye (𝜑𝑌𝐸)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0   𝑓,𝐽   𝑓,𝐿   ,𝑓   + ,𝑓   𝑅,𝑓   · ,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑔   𝐶,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑘   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝐽,𝑘   𝑔,𝐿,𝑘   ,𝑔   + ,𝑔   𝑄,𝑔,𝑘   𝑈,𝑘   𝑔,𝑉   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔,𝑘   𝑣,𝑔,𝑤,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔)   · (𝑔)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
2 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
3 lcfrlem30.m . . . . . 6 = (-g𝐷)
4 eqid 2734 . . . . . 6 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7dvhlmod 41092 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
9 lcfrlem37.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑈)
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘𝑆)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
17 eqid 2734 . . . . . . 7 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
19 eqid 2734 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
20 eqid 2734 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐸)
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 eldifsni 4794 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋0 )
28 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝐸𝑋0 ))
2924, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 41540 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺)
31 eqid 2734 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8 𝑄 = (0g𝑆)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐵)
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8 𝐹 = (invr𝑆)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 41553 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼)) ∈ 𝑅)
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐸)
43 eldifsni 4794 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌0 )
4434, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌0 )
45 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝐸𝑌0 ))
4642, 44, 45sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 41540 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ 𝐺)
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 39139 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)) ∈ 𝐺)
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 39140 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌))) ∈ 𝐺)
501, 49eqeltrid 2842 . . . 4 (𝜑𝐶𝐺)
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 41560 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
52 2fveq3 6911 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐶 → ( ‘(𝐿𝑔)) = ( ‘(𝐿𝐶)))
5352eleq2d 2824 . . . . 5 (𝑔 = 𝐶 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶))))
5453rspcev 3621 . . . 4 ((𝐶𝐺 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶))) → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5550, 51, 54syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
56 eliun 4999 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5755, 56sylibr 234 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5857, 23eleqtrrdi 2849 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  {crab 3432  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  {csn 4630  {cpr 4632   ciun 4995  cmpt 5230  cfv 6562  crio 7386  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17485  -gcsg 18965  invrcinvr 20403  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986  LSAtomsclsa 38955  LFnlclfn 39038  LKerclk 39066  LDualcld 39104  HLchlt 39331  LHypclh 39966  DVecHcdvh 41060  ocHcoch 41329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-riotaBAD 38934
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-undef 8296  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-nzr 20529  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-lsatoms 38957  df-lshyp 38958  df-lcv 39000  df-lfl 39039  df-lkr 39067  df-ldual 39105  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141  df-tgrp 40725  df-tendo 40737  df-edring 40739  df-dveca 40985  df-disoa 41011  df-dvech 41061  df-dib 41121  df-dic 41155  df-dih 41211  df-doch 41330  df-djh 41377
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  41562
  Copyright terms: Public domain W3C validator