Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem37 41278
Description: Lemma for lcfr 41284. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
lcfrlem37.g (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
lcfrlem37.gs (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
lcfrlem37.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem37.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem37.ye (𝜑𝑌𝐸)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0   𝑓,𝐽   𝑓,𝐿   ,𝑓   + ,𝑓   𝑅,𝑓   · ,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑔   𝐶,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑘   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝐽,𝑘   𝑔,𝐿,𝑘   ,𝑔   + ,𝑔   𝑄,𝑔,𝑘   𝑈,𝑘   𝑔,𝑉   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔,𝑘   𝑣,𝑔,𝑤,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔)   · (𝑔)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
2 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
3 lcfrlem30.m . . . . . 6 = (-g𝐷)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7dvhlmod 40809 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
9 lcfrlem37.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑈)
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘𝑆)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
19 eqid 2726 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
20 eqid 2726 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐸)
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 eldifsni 4799 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋0 )
28 eldifsn 4795 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝐸𝑋0 ))
2924, 27, 28sylanbrc 581 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 41257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺)
31 eqid 2726 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8 𝑄 = (0g𝑆)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐵)
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8 𝐹 = (invr𝑆)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 41270 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼)) ∈ 𝑅)
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐸)
43 eldifsni 4799 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌0 )
4434, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌0 )
45 eldifsn 4795 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝐸𝑌0 ))
4642, 44, 45sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 41257 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ 𝐺)
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 38856 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)) ∈ 𝐺)
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 38857 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌))) ∈ 𝐺)
501, 49eqeltrid 2830 . . . 4 (𝜑𝐶𝐺)
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 41277 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
52 2fveq3 6906 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐶 → ( ‘(𝐿𝑔)) = ( ‘(𝐿𝐶)))
5352eleq2d 2812 . . . . 5 (𝑔 = 𝐶 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶))))
5453rspcev 3608 . . . 4 ((𝐶𝐺 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶))) → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5550, 51, 54syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
56 eliun 5005 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5755, 56sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5857, 23eleqtrrdi 2837 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  {crab 3419  cdif 3944  cin 3946  wss 3947  {csn 4633  {cpr 4635   ciun 5001  cmpt 5236  cfv 6554  crio 7379  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  .rcmulr 17267  Scalarcsca 17269   ·𝑠 cvsca 17270  0gc0g 17454  -gcsg 18930  invrcinvr 20369  LSubSpclss 20908  LSpanclspn 20948  LSAtomsclsa 38672  LFnlclfn 38755  LKerclk 38783  LDualcld 38821  HLchlt 39048  LHypclh 39683  DVecHcdvh 40777  ocHcoch 41046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-riotaBAD 38651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-undef 8288  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-0g 17456  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-nzr 20495  df-rlreg 20672  df-domn 20673  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lsatoms 38674  df-lshyp 38675  df-lcv 38717  df-lfl 38756  df-lkr 38784  df-ldual 38822  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858  df-tgrp 40442  df-tendo 40454  df-edring 40456  df-dveca 40702  df-disoa 40728  df-dvech 40778  df-dib 40838  df-dic 40872  df-dih 40928  df-doch 41047  df-djh 41094
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  41279
  Copyright terms: Public domain W3C validator