Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem37 39847
Description: Lemma for lcfr 39853. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
lcfrlem37.g (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
lcfrlem37.gs (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
lcfrlem37.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem37.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem37.ye (𝜑𝑌𝐸)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0   𝑓,𝐽   𝑓,𝐿   ,𝑓   + ,𝑓   𝑅,𝑓   · ,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑔   𝐶,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑘   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝐽,𝑘   𝑔,𝐿,𝑘   ,𝑔   + ,𝑔   𝑄,𝑔,𝑘   𝑈,𝑘   𝑔,𝑉   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔,𝑘   𝑣,𝑔,𝑤,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔)   · (𝑔)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
2 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
3 lcfrlem30.m . . . . . 6 = (-g𝐷)
4 eqid 2736 . . . . . 6 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7dvhlmod 39378 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
9 lcfrlem37.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑈)
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘𝑆)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
19 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
20 eqid 2736 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐸)
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 eldifsni 4737 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋0 )
28 eldifsn 4734 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝐸𝑋0 ))
2924, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 39826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺)
31 eqid 2736 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8 𝑄 = (0g𝑆)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐵)
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8 𝐹 = (invr𝑆)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 39839 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼)) ∈ 𝑅)
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐸)
43 eldifsni 4737 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌0 )
4434, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌0 )
45 eldifsn 4734 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝐸𝑌0 ))
4642, 44, 45sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 39826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ 𝐺)
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 37425 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)) ∈ 𝐺)
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 37426 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌))) ∈ 𝐺)
501, 49eqeltrid 2841 . . . 4 (𝜑𝐶𝐺)
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 39846 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
52 2fveq3 6830 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐶 → ( ‘(𝐿𝑔)) = ( ‘(𝐿𝐶)))
5352eleq2d 2822 . . . . 5 (𝑔 = 𝐶 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶))))
5453rspcev 3570 . . . 4 ((𝐶𝐺 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶))) → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5550, 51, 54syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
56 eliun 4945 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5755, 56sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5857, 23eleqtrrdi 2848 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wrex 3070  {crab 3403  cdif 3895  cin 3897  wss 3898  {csn 4573  {cpr 4575   ciun 4941  cmpt 5175  cfv 6479  crio 7292  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  .rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247  -gcsg 18675  invrcinvr 20008  LSubSpclss 20299  LSpanclspn 20339  LSAtomsclsa 37241  LFnlclfn 37324  LKerclk 37352  LDualcld 37390  HLchlt 37617  LHypclh 38252  DVecHcdvh 39346  ocHcoch 39615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-riotaBAD 37220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-undef 8159  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-oppg 19046  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-lsatoms 37243  df-lshyp 37244  df-lcv 37286  df-lfl 37325  df-lkr 37353  df-ldual 37391  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-llines 37766  df-lplanes 37767  df-lvols 37768  df-lines 37769  df-psubsp 37771  df-pmap 37772  df-padd 38064  df-lhyp 38256  df-laut 38257  df-ldil 38372  df-ltrn 38373  df-trl 38427  df-tgrp 39011  df-tendo 39023  df-edring 39025  df-dveca 39271  df-disoa 39297  df-dvech 39347  df-dib 39407  df-dic 39441  df-dih 39497  df-doch 39616  df-djh 39663
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  39848
  Copyright terms: Public domain W3C validator