Theorem hdmaplnm1 38068

Description: Multiplicative property of first (inner product) argument. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplnm1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplnm1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplnm1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplnm1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmaplnm1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmaplnm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmaplnm1.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmaplnm1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplnm1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaplnm1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplnm1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplnm1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmaplnm1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑌)‘(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 × ((𝑆‘𝑌)‘𝑋)))

Proof of Theorem hdmaplnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplnm1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaplnm1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaplnm1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 37269	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		eqid 2778	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2778	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
8		hdmaplnm1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmaplnm1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmaplnm1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 8, 5, 6, 9, 3, 10	hdmapcl 37989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
12	1, 5, 6, 2, 7, 3, 11	lcdvbaselfl 37754	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (LFnl‘𝑈))
13		hdmaplnm1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
14		hdmaplnm1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		hdmaplnm1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
16		hdmaplnm1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17		hdmaplnm1.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
18		hdmaplnm1.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19	15, 16, 17, 8, 18, 7	lflmul 35227	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑌)‘(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 × ((𝑆‘𝑌)‘𝑋)))
20	4, 12, 13, 14, 19	syl112anc 1442	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑌)‘(𝐴 · 𝑋)) = (𝐴 × ((𝑆‘𝑌)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  ._rcmulr 16343  Scalarcsca 16345   ·_𝑠 cvsca 16346  LModclmod 19259  LFnlclfn 35216  HLchlt 35509  LHypclh 36143  DVecHcdvh 37237  LCDualclcd 37745  HDMapchdma 37951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-riotaBAD 35112

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-undef 7683  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-0g 16492  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-lub 17364  df-glb 17365  df-join 17366  df-meet 17367  df-p0 17429  df-p1 17430  df-lat 17436  df-clat 17498  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-subg 17979  df-cntz 18137  df-oppg 18163  df-lsm 18439  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-oppr 19014  df-dvdsr 19032  df-unit 19033  df-invr 19063  df-dvr 19074  df-drng 19145  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-lsp 19371  df-lvec 19502  df-lsatoms 35135  df-lshyp 35136  df-lcv 35178  df-lfl 35217  df-lkr 35245  df-ldual 35283  df-oposet 35335  df-ol 35337  df-oml 35338  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457  df-cvlat 35481  df-hlat 35510  df-llines 35657  df-lplanes 35658  df-lvols 35659  df-lines 35660  df-psubsp 35662  df-pmap 35663  df-padd 35955  df-lhyp 36147  df-laut 36148  df-ldil 36263  df-ltrn 36264  df-trl 36318  df-tgrp 36902  df-tendo 36914  df-edring 36916  df-dveca 37162  df-disoa 37188  df-dvech 37238  df-dib 37298  df-dic 37332  df-dih 37388  df-doch 37507  df-djh 37554  df-lcdual 37746  df-mapd 37784  df-hvmap 37916  df-hdmap1 37952  df-hdmap 37953

This theorem is referenced by:  hdmapip1  38075  hdmapinvlem3  38079  hdmapinvlem4  38080