Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrssv 36302
Description: The kernel of a linear functional is a set of vectors. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrssv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrssv.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrssv.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrssv.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lkrssv.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrssv (𝜑 → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lkrssv
StepHypRef Expression
1 lkrssv.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lkrssv.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
3 lkrssv.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4 lkrssv.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5 eqid 2824 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
63, 4, 5lkrlss 36301 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
71, 2, 6syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lkrssv.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
98, 5lssss 19701 . 2 ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
107, 9syl 17 1 (𝜑 → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  cfv 6343  Basecbs 16479  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LFnlclfn 36263  LKerclk 36291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lfl 36264  df-lkr 36292
This theorem is referenced by:  lkrscss  36304  lkrlsp3  36310  lshpkr  36323  lfl1dim  36327  lfl1dim2N  36328  lkrpssN  36369  dochlkr  38591  dochkrsat  38661  dochkrsat2  38662  dochsnkrlem1  38675  dochsnkr  38678  dochfln0  38683  dochkr1  38684  dochkr1OLDN  38685  lcfl4N  38701  lcfl5  38702  lcfl6lem  38704  lcfl6  38706  lcfl9a  38711  lclkrlem2s  38731  lclkrlem2v  38734  lclkrslem1  38743  lclkrslem2  38744  lcfrvalsnN  38747  lcfrlem4  38751  lcfrlem5  38752  lcfrlem6  38753  lcfrlem16  38764  lcfrlem26  38774  lcfrlem36  38784  lcfr  38791  mapdsn  38847  mapdrvallem2  38851  mapd0  38871  hdmaplkr  39119
  Copyright terms: Public domain W3C validator