Theorem lkrssv 39588

Description: The kernel of a linear functional is a set of vectors. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrssv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrssv.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrssv.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrssv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkrssv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrssv	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lkrssv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrssv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lkrssv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lkrssv.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrssv.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
6	3, 4, 5	lkrlss 39587	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
7	1, 2, 6	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lkrssv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	8, 5	lssss 20926	. 2 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LFnlclfn 39549  LKerclk 39577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lfl 39550  df-lkr 39578

This theorem is referenced by:  lkrscss  39590  lkrlsp3  39596  lshpkr  39609  lfl1dim  39613  lfl1dim2N  39614  lkrpssN  39655  dochlkr  41877  dochkrsat  41947  dochkrsat2  41948  dochsnkrlem1  41961  dochsnkr  41964  dochfln0  41969  dochkr1  41970  dochkr1OLDN  41971  lcfl4N  41987  lcfl5  41988  lcfl6lem  41990  lcfl6  41992  lcfl9a  41997  lclkrlem2s  42017  lclkrlem2v  42020  lclkrslem1  42029  lclkrslem2  42030  lcfrvalsnN  42033  lcfrlem4  42037  lcfrlem5  42038  lcfrlem6  42039  lcfrlem16  42050  lcfrlem26  42060  lcfrlem36  42070  lcfr  42077  mapdsn  42133  mapdrvallem2  42137  mapd0  42157  hdmaplkr  42405