Theorem lkrssv 39601

Description: The kernel of a linear functional is a set of vectors. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrssv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrssv.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrssv.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrssv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkrssv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrssv	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lkrssv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrssv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lkrssv.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lkrssv.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrssv.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
6	3, 4, 5	lkrlss 39600	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
7	1, 2, 6	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lkrssv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	8, 5	lssss 20929	. 2 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6488  Basecbs 17174  LModclmod 20853  LSubSpclss 20924  LFnlclfn 39562  LKerclk 39590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lfl 39563  df-lkr 39591

This theorem is referenced by:  lkrscss  39603  lkrlsp3  39609  lshpkr  39622  lfl1dim  39626  lfl1dim2N  39627  lkrpssN  39668  dochlkr  41890  dochkrsat  41960  dochkrsat2  41961  dochsnkrlem1  41974  dochsnkr  41977  dochfln0  41982  dochkr1  41983  dochkr1OLDN  41984  lcfl4N  42000  lcfl5  42001  lcfl6lem  42003  lcfl6  42005  lcfl9a  42010  lclkrlem2s  42030  lclkrlem2v  42033  lclkrslem1  42042  lclkrslem2  42043  lcfrvalsnN  42046  lcfrlem4  42050  lcfrlem5  42051  lcfrlem6  42052  lcfrlem16  42063  lcfrlem26  42073  lcfrlem36  42083  lcfr  42090  mapdsn  42146  mapdrvallem2  42150  mapd0  42170  hdmaplkr  42418