Theorem lspsncv0 21146

Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncv0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsncv0	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Distinct variable group:   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3910	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2		nesym 2991	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
3	2	bilani 505	. . . . 5 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
4	1, 3	sylbi 218	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
5		lspsncv0.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
7		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ∈ 𝑆)
8		lspsncv0.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
11		lspsncv0.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		lspsncv0.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		lspsncv0.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
14		lspsncv0.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15	11, 12, 13, 14	lspsnat 21145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
16	6, 7, 9, 10, 15	syl31anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
17	16	orcomd 877	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
18	17	ord 870	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
19	18	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
20	19	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
21		npss 4051	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
22	20, 21	imbitrrdi 253	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
23	4, 22	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
24	23	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
25		ralinexa 3093	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26	24, 25	sylib 219	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  {csn 4562  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  LSubSpclss 20928  LSpanclspn 20968  LVecclvec 21099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100

This theorem is referenced by:  lsatcv0  39524