Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsncv0 19910
 Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0.z 0 = (0g𝑊)
lspsncv0.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsncv0 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
Distinct variable group:   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0
StepHypRef Expression
1 df-pss 3952 . . . . 5 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2 simpr 487 . . . . . 6 (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → { 0 } ≠ 𝑦)
3 nesym 3070 . . . . . 6 ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
42, 3sylib 220 . . . . 5 (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
51, 4sylbi 219 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
6 lspsncv0.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
8 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦𝑆)
9 lspsncv0.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋𝑉)
11 simpr 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12 lspsncv0.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lspsncv0.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
14 lspsncv0.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15 lspsncv0.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1612, 13, 14, 15lspsnat 19909 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
177, 8, 10, 11, 16syl31anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
1817orcomd 867 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
1918ord 860 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
2019ex 415 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
2120com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
22 npss 4085 . . . . 5 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
2321, 22syl6ibr 254 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
245, 23syl5 34 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
2524ralrimiva 3180 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26 ralinexa 3262 . 2 (∀𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
2725, 26sylib 220 1 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∃wrex 3137   ⊆ wss 3934   ⊊ wpss 3935  {csn 4559  ‘cfv 6348  Basecbs 16475  0gc0g 16705  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  LVecclvec 19866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867 This theorem is referenced by:  lsatcv0  36159
 Copyright terms: Public domain W3C validator