Theorem lspsncv0 21189

Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncv0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsncv0	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Distinct variable group:   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3919	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2		nesym 3007	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
3	2	bilani 507	. . . . 5 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
4	1, 3	sylbi 219	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
5		lspsncv0.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
7		simplr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ∈ 𝑆)
8		lspsncv0.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
11		lspsncv0.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		lspsncv0.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		lspsncv0.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
14		lspsncv0.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15	11, 12, 13, 14	lspsnat 21188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
16	6, 7, 9, 10, 15	syl31anc 1388	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
17	16	orcomd 880	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
18	17	ord 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
19	18	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
20	19	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
21		npss 4062	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
22	20, 21	imbitrrdi 254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
23	4, 22	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
24	23	ralrimiva 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
25		ralinexa 3109	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26	24, 25	sylib 220	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3080   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {csn 4576  ‘cfv 6510  Basecbs 17221  0_gc0g 17444  LSubSpclss 20971  LSpanclspn 21011  LVecclvec 21142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-drng 20753  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lsp 21012  df-lvec 21143

This theorem is referenced by:  lsatcv0  39603