Theorem lspsncv0 21281

Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncv0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsncv0	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Distinct variable group:   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3924	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2		nesym 3013	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
3	2	bilani 509	. . . . 5 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
4	1, 3	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
5		lspsncv0.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
7		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ∈ 𝑆)
8		lspsncv0.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
11		lspsncv0.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		lspsncv0.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		lspsncv0.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
14		lspsncv0.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15	11, 12, 13, 14	lspsnat 21280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
16	6, 7, 9, 10, 15	syl31anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
17	16	orcomd 884	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
18	17	ord 877	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
19	18	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
20	19	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
21		npss 4067	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
22	20, 21	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
23	4, 22	syl5 35	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
24	23	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
25		ralinexa 3117	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26	24, 25	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  {csn 4588  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  LSubSpclss 21063  LSpanclspn 21103  LVecclvec 21234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lvec 21235

This theorem is used by:  lsatcv0  39833