MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsncv0 19468
Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0.z 0 = (0g𝑊)
lspsncv0.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsncv0 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
Distinct variable group:   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0
StepHypRef Expression
1 df-pss 3785 . . . . 5 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2 simpr 478 . . . . . 6 (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → { 0 } ≠ 𝑦)
3 nesym 3027 . . . . . 6 ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
42, 3sylib 210 . . . . 5 (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
51, 4sylbi 209 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
6 lspsncv0.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
8 simplr 786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦𝑆)
9 lspsncv0.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
109ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋𝑉)
11 simpr 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12 lspsncv0.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lspsncv0.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
14 lspsncv0.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15 lspsncv0.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1612, 13, 14, 15lspsnat 19467 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
177, 8, 10, 11, 16syl31anc 1493 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
1817orcomd 898 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
1918ord 891 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
2019ex 402 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
2120com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
22 npss 3914 . . . . 5 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
2321, 22syl6ibr 244 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
245, 23syl5 34 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
2524ralrimiva 3147 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26 ralinexa 3177 . 2 (∀𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
2725, 26sylib 210 1 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  wss 3769  wpss 3770  {csn 4368  cfv 6101  Basecbs 16184  0gc0g 16415  LSubSpclss 19250  LSpanclspn 19292  LVecclvec 19423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-drng 19067  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lvec 19424
This theorem is referenced by:  lsatcv0  35052
  Copyright terms: Public domain W3C validator