Theorem lspsncv0 21105

Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncv0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsncv0	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Distinct variable group:   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3922	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → { 0 } ≠ 𝑦)
3		nesym 2989	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
5	1, 4	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
6		lspsncv0.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
8		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		lspsncv0.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12		lspsncv0.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lspsncv0.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14		lspsncv0.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15		lspsncv0.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16	12, 13, 14, 15	lspsnat 21104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
17	7, 8, 10, 11, 16	syl31anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
18	17	orcomd 872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
19	18	ord 865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
20	19	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
21	20	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
22		npss 4066	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
23	21, 22	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
24	5, 23	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
25	24	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26		ralinexa 3090	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
27	25, 26	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  {csn 4581  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  LSubSpclss 20886  LSpanclspn 20926  LVecclvec 21058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059

This theorem is referenced by:  lsatcv0  39328