Theorem dsmmlmod 22058

Description: The direct sum of a family of modules is a module. See also the remark in [Lang] p. 128. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmlss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmlss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
dsmmlmod.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dsmmlmod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmlss.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3		dsmmlss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		dsmmlss.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
5		dsmmlss.k	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	prdslmodd 21251	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) ∈ LMod)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅)) = (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅))
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
9	3, 2, 4, 5, 1, 7, 8	dsmmlss 22057	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅)))
10		dsmmlmod.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
11	8	dsmmval2 22049	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
12	10, 11	eqtri 2783	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
13	12, 7	lsslmod 21242	. 2 ⊢ (((𝑆Xs𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐶 ∈ LMod)
14	6, 9, 13	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394   ↾_s cress 17415  Scalarcsca 17438  X_scprds 17623  Ringcrg 20466  LModclmod 21142  LSubSpclss 21213   ⊕_m cdsmm 22044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-hom 17459  df-cco 17460  df-0g 17619  df-prds 17625  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-subg 19340  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-dsmm 22045

This theorem is used by:  frlmlmod  22062