MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmlmod 20892
Description: The direct sum of a family of modules is a module. See also the remark in [Lang] p. 128. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmlss.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmlss.s (𝜑𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r (𝜑𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k ((𝜑𝑥𝐼) → (Scalar‘(𝑅𝑥)) = 𝑆)
dsmmlmod.c 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dsmmlmod (𝜑𝐶 ∈ LMod)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlmod
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmlss.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
3 dsmmlss.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
4 dsmmlss.r . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶LMod)
5 dsmmlss.k . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (Scalar‘(𝑅𝑥)) = 𝑆)
61, 2, 3, 4, 5prdslmodd 19744 . 2 (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) ∈ LMod)
7 eqid 2824 . . 3 (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅)) = (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅))
8 eqid 2824 . . 3 (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
93, 2, 4, 5, 1, 7, 8dsmmlss 20891 . 2 (𝜑 → (Base‘(𝑆m 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅)))
10 dsmmlmod.c . . . 4 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
118dsmmval2 20883 . . . 4 (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅)))
1210, 11eqtri 2847 . . 3 𝐶 = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅)))
1312, 7lsslmod 19735 . 2 (((𝑆Xs𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(𝑆m 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐶 ∈ LMod)
146, 9, 13syl2anc 587 1 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  s cress 16487  Scalarcsca 16571  Xscprds 16722  Ringcrg 19300  LModclmod 19637  LSubSpclss 19706  m cdsmm 20878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-fz 12898  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-prds 16724  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-dsmm 20879
This theorem is referenced by:  frlmlmod  20896
  Copyright terms: Public domain W3C validator