Theorem dsmmlmod 20453

Description: The direct sum of a family of modules is a module. See also the remark in [Lang] p. 128. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmlss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmlss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
dsmmlmod.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dsmmlmod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2826	. . 3 ⊢ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmlss.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3		dsmmlss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		dsmmlss.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
5		dsmmlss.k	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	prdslmodd 19329	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) ∈ LMod)
7		eqid 2826	. . 3 ⊢ (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅)) = (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅))
8		eqid 2826	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
9	3, 2, 4, 5, 1, 7, 8	dsmmlss 20452	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅)))
10		dsmmlmod.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
11	8	dsmmval2 20444	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
12	10, 11	eqtri 2850	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
13	12, 7	lsslmod 19320	. 2 ⊢ (((𝑆Xs𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐶 ∈ LMod)
14	6, 9, 13	syl2anc 581	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223   ↾_s cress 16224  Scalarcsca 16309  X_scprds 16460  Ringcrg 18902  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289   ⊕_m cdsmm 20439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-prds 16462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-dsmm 20440

This theorem is referenced by:  frlmlmod  20457