Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegpropd 24688
 Description: Property deduction for polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
mdegpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
mdegpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
mdegpropd (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mdegpropd
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegpropd.b1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 mdegpropd.b2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
3 mdegpropd.p . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
41, 2, 3mplbaspropd 20869 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
51, 2, 3grpidpropd 17867 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑆))
65oveq2d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐 supp (0g𝑅)) = (𝑐 supp (0g𝑆)))
76imaeq2d 5900 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))) = ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))))
87supeq1d 8898 . . 3 (𝜑 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < ))
94, 8mpteq12dv 5118 . 2 (𝜑 → (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < )) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < )))
10 eqid 2801 . . 3 (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑅)
11 eqid 2801 . . 3 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12 eqid 2801 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
13 eqid 2801 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
14 eqid 2801 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
15 eqid 2801 . . 3 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
1610, 11, 12, 13, 14, 15mdegfval 24666 . 2 (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
17 eqid 2801 . . 3 (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝐼 mDeg 𝑆)
18 eqid 2801 . . 3 (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
19 eqid 2801 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
20 eqid 2801 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2117, 18, 19, 20, 14, 15mdegfval 24666 . 2 (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < ))
229, 16, 213eqtr4g 2861 1 (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5522   “ cima 5526  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   supp csupp 7817   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  supcsup 8892  ℝ*cxr 10667   < clt 10668  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  ℂfldccnfld 20094   mPoly cmpl 20594   mDeg cmdg 24657 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-0g 16710  df-psr 20597  df-mpl 20599  df-mdeg 24659 This theorem is referenced by:  deg1propd  24690
 Copyright terms: Public domain W3C validator