MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegpropd 25472
Description: Property deduction for polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
mdegpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
mdegpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
mdegpropd (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mdegpropd
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegpropd.b1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 mdegpropd.b2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
3 mdegpropd.p . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
41, 2, 3mplbaspropd 21631 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
51, 2, 3grpidpropd 18525 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑆))
65oveq2d 7377 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐 supp (0g𝑅)) = (𝑐 supp (0g𝑆)))
76imaeq2d 6017 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))) = ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))))
87supeq1d 9390 . . 3 (𝜑 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < ))
94, 8mpteq12dv 5200 . 2 (𝜑 → (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < )) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < )))
10 eqid 2733 . . 3 (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑅)
11 eqid 2733 . . 3 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12 eqid 2733 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
13 eqid 2733 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
14 eqid 2733 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
15 eqid 2733 . . 3 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
1610, 11, 12, 13, 14, 15mdegfval 25450 . 2 (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
17 eqid 2733 . . 3 (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝐼 mDeg 𝑆)
18 eqid 2733 . . 3 (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
19 eqid 2733 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
20 eqid 2733 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2117, 18, 19, 20, 14, 15mdegfval 25450 . 2 (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < ))
229, 16, 213eqtr4g 2798 1 (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  cmpt 5192  ccnv 5636  cima 5640  cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  m cmap 8771  Fincfn 8889  supcsup 9384  *cxr 11196   < clt 11197  cn 12161  0cn0 12421  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329   Σg cgsu 17330  fldccnfld 20819   mPoly cmpl 21331   mDeg cmdg 25438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-0g 17331  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-mdeg 25440
This theorem is referenced by:  deg1propd  25474
  Copyright terms: Public domain W3C validator