Theorem mdegpropd 26395

Description: Property deduction for polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
mdegpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
mdegpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
mdegpropd	⊢ (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mdegpropd

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegpropd.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		mdegpropd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
3		mdegpropd.p	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
4	1, 2, 3	mplbaspropd 22547	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
5	1, 2, 3	grpidpropd 18835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
6	5	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑐 supp (0g‘𝑅)) = (𝑐 supp (0g‘𝑆)))
7	6	imaeq2d 6052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))) = ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))))
8	7	supeq1d 9431	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < ))
9	4, 8	mpteq12dv 5192	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < )) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < )))
10		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑅)
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
13		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2761	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	mdegfval 26373	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
17		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝐼 mDeg 𝑆)
18		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
19		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
20		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
21	17, 18, 19, 20, 14, 15	mdegfval 26373	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < ))
22	9, 16, 21	3eqtr4g 2821	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   supp csupp 8170   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8966  supcsup 9425  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  ℂ_fldccnfld 21671   mPoly cmpl 22207   mDeg cmdg 26364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-tset 17440  df-0g 17605  df-psr 22210  df-mpl 22212  df-mdeg 26366

This theorem is used by:  deg1propd  26397