Theorem mdegpropd 26137

Description: Property deduction for polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
mdegpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
mdegpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
mdegpropd	⊢ (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mdegpropd

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegpropd.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		mdegpropd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
3		mdegpropd.p	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
4	1, 2, 3	mplbaspropd 22253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
5	1, 2, 3	grpidpropd 18687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
6	5	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑐 supp (0g‘𝑅)) = (𝑐 supp (0g‘𝑆)))
7	6	imaeq2d 6079	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))) = ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))))
8	7	supeq1d 9483	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < ))
9	4, 8	mpteq12dv 5238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < )) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < )))
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑅)
11		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
13		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	mdegfval 26115	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
17		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝐼 mDeg 𝑆)
18		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
19		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
20		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
21	17, 18, 19, 20, 14, 15	mdegfval 26115	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < ))
22	9, 16, 21	3eqtr4g 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687   “ cima 5691  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  supcsup 9477  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  ℂ_fldccnfld 21381   mPoly cmpl 21943   mDeg cmdg 26106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17487  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-mdeg 26108

This theorem is referenced by:  deg1propd  26139