Theorem deg1fvi 26207

Description: Univariate polynomial degree respects protection. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
deg1fvi	⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘( I ‘𝑅))

Proof of Theorem deg1fvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6955	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2	1	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (deg1‘( I ‘𝑅)) = (deg1‘𝑅))
3		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘∅) = (deg1‘∅)
4		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5		00ply1bas 22364	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘(Poly1‘∅))
6	3, 4, 5	deg1xrf 26203	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘∅):∅⟶ℝ*
7		ffn 6703	. . . . . 6 ⊢ ((deg1‘∅):∅⟶ℝ* → (deg1‘∅) Fn ∅)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (deg1‘∅) Fn ∅
9		fn0 6664	. . . . 5 ⊢ ((deg1‘∅) Fn ∅ ↔ (deg1‘∅) = ∅)
10	8, 9	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (deg1‘∅) = ∅
11		fvprc 6871	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
12	11	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (deg1‘( I ‘𝑅)) = (deg1‘∅))
13		fvprc 6871	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (deg1‘𝑅) = ∅)
14	10, 12, 13	3eqtr4a 2830	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (deg1‘( I ‘𝑅)) = (deg1‘𝑅))
15	2, 14	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (deg1‘( I ‘𝑅)) = (deg1‘𝑅)
16	15	eqcomi 2778	1 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘( I ‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294   I cid 5553   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  ℝ^*cxr 11238  Poly₁cpl1 22302  deg₁cdg1 26176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-cnfld 21488  df-psr 22024  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-psr1 22305  df-ply1 22307  df-mdeg 26177  df-deg1 26178

This theorem is referenced by: (None)