MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1cl 24663
Description: Sharp closure of univariate polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1xrf.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1xrf.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1xrf.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1cl (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Proof of Theorem deg1cl
StepHypRef Expression
1 deg1xrf.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 24660 . 2 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2820 . 2 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1xrf.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2820 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1xrf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 20339 . 2 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
82, 3, 7mdegcl 24649 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  cun 3911  {csn 4543  cfv 6331  (class class class)co 7133  1oc1o 8073  -∞cmnf 10651  0cn0 11876  Basecbs 16462   mPoly cmpl 20109  PwSer1cps1 20319  Poly1cpl1 20321   deg1 cdg1 24634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-sup 8884  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-hash 13676  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-psr 20112  df-mpl 20114  df-opsr 20116  df-psr1 20324  df-ply1 20326  df-cnfld 20522  df-mdeg 24635  df-deg1 24636
This theorem is referenced by:  ply1divex  24716  ply1rem  24743  plypf1  24788  hbtlem5  39865
  Copyright terms: Public domain W3C validator