MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mideulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mideulem 26528
Description: Lemma for mideu 26530. We can assume mideulem.9 "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideulem.1 (𝜑𝐴𝐵)
mideulem.2 (𝜑𝑄𝑃)
mideulem.3 (𝜑𝑂𝑃)
mideulem.4 (𝜑𝑇𝑃)
mideulem.5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
mideulem.6 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
mideulem.7 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
mideulem.8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
mideulem.9 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
Assertion
Ref Expression
mideulem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem mideulem
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 780 . . 3 ((((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
2 colperpex.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 colperpex.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 colperpex.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 colperpex.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 colperpex.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mideu.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9 mideu.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
109ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝑃)
11 mideu.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1211ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐵𝑃)
13 mideulem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
1413ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝐵)
15 mideulem.2 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑃)
1615ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑄𝑃)
17 mideulem.3 . . . . 5 (𝜑𝑂𝑃)
1817ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑂𝑃)
19 mideulem.4 . . . . 5 (𝜑𝑇𝑃)
2019ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇𝑃)
21 mideulem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
2221ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
23 mideulem.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
2423ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
25 mideulem.7 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2625ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
27 mideulem.8 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
2827ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
29 simplr 768 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟𝑃)
30 simprl 770 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄))
31 simprr 772 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))
322, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31opphllem 26527 . . 3 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))
331, 32reximddv 3261 . 2 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
34 mideulem.9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
35 eqid 2822 . . . 4 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
362, 3, 4, 35, 6, 9, 17, 11, 15legov 26377 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))))
3734, 36mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟)))
3833, 37r19.29a 3275 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wrex 3131   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  distcds 16565  TarskiGcstrkg 26222  Itvcitv 26228  LineGclng 26229  ≤Gcleg 26374  pInvGcmir 26444  ⟂Gcperpg 26487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26240  df-trkgb 26241  df-trkgcb 26242  df-trkg 26245  df-cgrg 26303  df-leg 26375  df-mir 26445  df-rag 26486  df-perpg 26488
This theorem is referenced by:  midex  26529
  Copyright terms: Public domain W3C validator