MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mideulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mideulem 27093
Description: Lemma for mideu 27095. We can assume mideulem.9 "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideulem.1 (𝜑𝐴𝐵)
mideulem.2 (𝜑𝑄𝑃)
mideulem.3 (𝜑𝑂𝑃)
mideulem.4 (𝜑𝑇𝑃)
mideulem.5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
mideulem.6 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
mideulem.7 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
mideulem.8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
mideulem.9 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
Assertion
Ref Expression
mideulem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem mideulem
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 778 . . 3 ((((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
2 colperpex.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 colperpex.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 colperpex.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 colperpex.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 colperpex.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mideu.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9 mideu.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
109ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝑃)
11 mideu.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1211ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐵𝑃)
13 mideulem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
1413ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝐵)
15 mideulem.2 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑃)
1615ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑄𝑃)
17 mideulem.3 . . . . 5 (𝜑𝑂𝑃)
1817ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑂𝑃)
19 mideulem.4 . . . . 5 (𝜑𝑇𝑃)
2019ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇𝑃)
21 mideulem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
2221ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
23 mideulem.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
2423ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
25 mideulem.7 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2625ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
27 mideulem.8 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
2827ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
29 simplr 766 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟𝑃)
30 simprl 768 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄))
31 simprr 770 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))
322, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31opphllem 27092 . . 3 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))
331, 32reximddv 3206 . 2 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
34 mideulem.9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
35 eqid 2740 . . . 4 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
362, 3, 4, 35, 6, 9, 17, 11, 15legov 26942 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))))
3734, 36mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟)))
3833, 37r19.29a 3220 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wrex 3067   class class class wbr 5079  cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  distcds 16967  TarskiGcstrkg 26784  Itvcitv 26790  LineGclng 26791  ≤Gcleg 26939  pInvGcmir 27009  ⟂Gcperpg 27052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-oadd 8290  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-dju 9658  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-hash 14041  df-word 14214  df-concat 14270  df-s1 14297  df-s2 14557  df-s3 14558  df-trkgc 26805  df-trkgb 26806  df-trkgcb 26807  df-trkg 26810  df-cgrg 26868  df-leg 26940  df-mir 27010  df-rag 27051  df-perpg 27053
This theorem is referenced by:  midex  27094
  Copyright terms: Public domain W3C validator