MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsi 24668
Description: The properties of a normed subcomplex vector space, which is a vector space accompanied by a norm. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
isncvsngp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
isncvsngp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
isncvsngp.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ncvsi.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
ncvsi.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ncvsi (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ 𝑁:π‘‰βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘₯   π‘˜,𝑉,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   Β· ,π‘˜,π‘₯   𝑦,𝑉   𝑦,π‘Š,π‘₯
Allowed substitution hints:   Β· (𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐾(𝑦)   βˆ’ (π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑁(𝑦)   0 (π‘₯,𝑦,π‘˜)

Proof of Theorem ncvsi
StepHypRef Expression
1 isncvsngp.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 isncvsngp.n . . 3 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
3 isncvsngp.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 isncvsngp.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 isncvsngp.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
61, 2, 3, 4, 5isncvsngp 24666 . 2 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
7 simp1 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
81, 2nmf 24124 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ 𝑁:π‘‰βŸΆβ„)
983ad2ant2 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ 𝑁:π‘‰βŸΆβ„)
10 ncvsi.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
11 ncvsi.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
121, 2, 10, 11ngpi 24137 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‰βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)))))
13 r19.26 3112 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
14 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ))
15 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)))
16 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))
1714, 15, 163jca 1129 . . . . . . . . . 10 (((((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
1817ralimi 3084 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
1913, 18sylbir 234 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
2019ex 414 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
21203ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‰βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
2212, 21syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
2322imp 408 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
24233adant1 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
257, 9, 243jca 1129 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ 𝑁:π‘‰βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
266, 25sylbi 216 1 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ 𝑁:π‘‰βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((π‘β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((π‘β€˜π‘₯) + (π‘β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3948   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  abscabs 15181  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmVeccnvc 24090  β„‚Vecccvs 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-nvc 24096  df-clm 24579  df-cvs 24640
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator