MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlno0 30048
Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 ๐‘ = (๐‘ˆ normOpOLD ๐‘Š)
nmlno0.0 ๐‘ = (๐‘ˆ 0op ๐‘Š)
nmlno0.7 ๐ฟ = (๐‘ˆ LnOp ๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmlno0 ((๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง ๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = ๐‘))

Proof of Theorem nmlno0
StepHypRef Expression
1 nmlno0.7 . . . . . 6 ๐ฟ = (๐‘ˆ LnOp ๐‘Š)
2 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (๐‘ˆ LnOp ๐‘Š) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp ๐‘Š))
31, 2eqtrid 2785 . . . . 5 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ ๐ฟ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp ๐‘Š))
43eleq2d 2820 . . . 4 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ โ†” ๐‘‡ โˆˆ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp ๐‘Š)))
5 nmlno0.3 . . . . . . . 8 ๐‘ = (๐‘ˆ normOpOLD ๐‘Š)
6 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (๐‘ˆ normOpOLD ๐‘Š) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š))
75, 6eqtrid 2785 . . . . . . 7 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ ๐‘ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š))
87fveq1d 6894 . . . . . 6 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‡) = ((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š)โ€˜๐‘‡))
98eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š)โ€˜๐‘‡) = 0))
10 nmlno0.0 . . . . . . 7 ๐‘ = (๐‘ˆ 0op ๐‘Š)
11 oveq1 7416 . . . . . . 7 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (๐‘ˆ 0op ๐‘Š) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š))
1210, 11eqtrid 2785 . . . . . 6 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ ๐‘ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š))
1312eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (๐‘‡ = ๐‘ โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š)))
149, 13bibi12d 346 . . . 4 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (((๐‘โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = ๐‘) โ†” (((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š)โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š))))
154, 14imbi12d 345 . . 3 (๐‘ˆ = if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = ๐‘)) โ†” (๐‘‡ โˆˆ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp ๐‘Š) โ†’ (((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š)โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š)))))
16 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp ๐‘Š) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)))
1716eleq2d 2820 . . . 4 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp ๐‘Š) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))))
18 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)))
1918fveq1d 6894 . . . . . 6 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ ((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š)โ€˜๐‘‡) = ((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))โ€˜๐‘‡))
2019eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š)โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))โ€˜๐‘‡) = 0))
21 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)))
2221eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ (๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š) โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))))
2320, 22bibi12d 346 . . . 4 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ ((((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š)โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š)) โ†” (((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)))))
2417, 23imbi12d 345 . . 3 (๐‘Š = if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp ๐‘Š) โ†’ (((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD ๐‘Š)โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op ๐‘Š))) โ†” (๐‘‡ โˆˆ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)) โ†’ (((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))))))
25 eqid 2733 . . . 4 (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))
26 eqid 2733 . . . 4 (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))
27 eqid 2733 . . . 4 (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)) = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))
28 elimnvu 29937 . . . 4 if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โˆˆ NrmCVec
29 elimnvu 29937 . . . 4 if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) โˆˆ NrmCVec
3025, 26, 27, 28, 29nmlno0i 30047 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) LnOp if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ)) โ†’ (((if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) normOpOLD if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = (if(๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec, ๐‘ˆ, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ) 0op if(๐‘Š โˆˆ NrmCVec, ๐‘Š, โŸจโŸจ + , ยท โŸฉ, absโŸฉ))))
3115, 24, 30dedth2h 4588 . 2 ((๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง ๐‘Š โˆˆ NrmCVec) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = ๐‘)))
32313impia 1118 1 ((๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง ๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  โŸจcop 4635  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115  abscabs 15181  NrmCVeccnv 29837   LnOp clno 29993   normOpOLD cnmoo 29994   0op c0o 29996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-0o 30000
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  30050
  Copyright terms: Public domain W3C validator