Theorem nmlno0 31412

Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmlno0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Proof of Theorem nmlno0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlno0.7	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
2		oveq1 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 LnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊))
3	1, 2	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐿 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊))
4	3	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ∈ 𝐿 ↔ 𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊)))
5		nmlno0.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6		oveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
7	5, 6	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑁 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
8	7	fveq1d 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑁‘𝑇) = ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
9	8	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0))
10		nmlno0.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
11		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 0op 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊))
12	10, 11	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑍 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊))
13	12	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 = 𝑍 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊)))
14	9, 13	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍) ↔ (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊))))
15	4, 14	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)) ↔ (𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊)))))
16		oveq2 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
17	16	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
18		oveq2 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
19	18	fveq1d 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇))
20	19	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ ((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇) = 0))
21		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
22	21	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊) ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
23	20, 22	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊)) ↔ (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
24	17, 23	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp 𝑊) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op 𝑊))) ↔ (𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))))
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
26		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
27		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
28		elimnvu 31301	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
29		elimnvu 31301	. . . 4 ⊢ if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
30	25, 26, 27, 28, 29	nmlno0i 31411	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) LnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (((if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = (if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) 0op if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
31	15, 24, 30	dedth2h 4545	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)))
32	31	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ifcif 4485  ⟨cop 4838  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213   + caddc 11216   · cmul 11218  abscabs 15416  NrmCVeccnv 31201   LnOp clno 31357   normOp_OLD cnmoo 31358   0_op c0o 31360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-grpo 31110  df-gid 31111  df-ginv 31112  df-ablo 31162  df-vc 31176  df-nv 31209  df-va 31212  df-ba 31213  df-sm 31214  df-0v 31215  df-nmcv 31217  df-lno 31361  df-nmoo 31362  df-0o 31364

This theorem is used by:  nmlnogt0  31414