Theorem resqrtcld 15507

Description: The square root of a nonnegative real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		resqrtcl 15342	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℝcr 11126  0cc0 11127   ≤ cle 11271  √csqrt 15322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324

This theorem is used by:  isprm7  16803  nonsq  16854  ipcau2  25463  tcphcphlem1  25464  tcphcph  25466  rrxcph  25621  trirn  25629  rrxmet  25637  rrxdstprj1  25638  minveclem3b  25657  atans2  27166  chpub  27454  bposlem4  27521  bposlem5  27522  bposlem6  27523  bposlem9  27526  chpchtlim  27713  axsegconlem4  29363  ax5seglem3  29374  normf  31590  normgt0  31594  iconstr  34263  constrresqrtcl  34274  sqsscirc1  34405  hgt750lemd  35143  hgt750lem  35146  hgt750leme  35153  tgoldbachgtde  35155  sin2h  38351  cos2h  38352  dvasin  38440  areacirclem4  38447  areacirclem5  38448  areacirc  38449  rrnmet  38566  rrndstprj1  38567  rrndstprj2  38568  rrnequiv  38572  rrntotbnd  38573  aks6d1c2lem4  42980  aks6d1c2  42983  aks6d1c6lem4  43026  aks6d1c7lem1  43033  aks6d1c7lem2  43034  pellexlem2  43658  pellexlem5  43661  pell14qrgt0  43687  pell1qrge1  43698  sqrtcvallem3  44465  sqrtcvallem5  44467  sqrtcval  44468  stirlingr  46905  rrndistlt  47105  qndenserrnbllem  47109  hoiqssbllem2  47438  sqrtnegnre  48182  sqrtpwpw2p  48428  requad01  48524  requad2  48526  ehl2eudis0lt  49643  inlinecirc02plem  49703