Theorem resqrtcld 15585

Description: The square root of a nonnegative real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		resqrtcl 15420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ℝcr 11199  0cc0 11200   ≤ cle 11344  √csqrt 15400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402

This theorem is used by:  isprm7  16884  nonsq  16935  ipcau2  25555  tcphcphlem1  25556  tcphcph  25558  rrxcph  25713  trirn  25721  rrxmet  25729  rrxdstprj1  25730  minveclem3b  25749  atans2  27259  chpub  27547  bposlem4  27614  bposlem5  27615  bposlem6  27616  bposlem9  27619  chpchtlim  27806  axsegconlem4  29498  ax5seglem3  29509  normf  31725  normgt0  31729  iconstr  34398  constrresqrtcl  34409  sqsscirc1  34540  hgt750lemd  35277  hgt750lem  35280  hgt750leme  35287  tgoldbachgtde  35289  sin2h  38534  cos2h  38535  dvasin  38623  areacirclem4  38630  areacirclem5  38631  areacirc  38632  rrnmet  38764  rrndstprj1  38765  rrndstprj2  38766  rrnequiv  38770  rrntotbnd  38771  aks6d1c2lem4  43178  aks6d1c2  43181  aks6d1c6lem4  43224  aks6d1c7lem1  43231  aks6d1c7lem2  43232  pellexlem2  43837  pellexlem5  43840  pell14qrgt0  43866  pell1qrge1  43877  sqrtcvallem3  44638  sqrtcvallem5  44640  sqrtcval  44641  stirlingr  47100  rrndistlt  47300  qndenserrnbllem  47304  hoiqssbllem2  47633  sqrtnegnre  48377  sqrtpwpw2p  48623  requad01  48719  requad2  48721  ehl2eudis0lt  49838  inlinecirc02plem  49898