Theorem resqrtcld 15452

Description: The square root of a nonnegative real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		resqrtcl 15288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  0cc0 11152   ≤ cle 11293  √csqrt 15268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270

This theorem is referenced by:  isprm7  16741  nonsq  16792  ipcau2  25281  tcphcphlem1  25282  tcphcph  25284  rrxcph  25439  trirn  25447  rrxmet  25455  rrxdstprj1  25456  minveclem3b  25475  atans2  26988  chpub  27278  bposlem4  27345  bposlem5  27346  bposlem6  27347  bposlem9  27350  chpchtlim  27537  axsegconlem4  28949  ax5seglem3  28960  normf  31151  normgt0  31155  sqsscirc1  33868  hgt750lemd  34641  hgt750lem  34644  hgt750leme  34651  tgoldbachgtde  34653  sin2h  37596  cos2h  37597  dvasin  37690  areacirclem4  37697  areacirclem5  37698  areacirc  37699  rrnmet  37815  rrndstprj1  37816  rrndstprj2  37817  rrnequiv  37821  rrntotbnd  37822  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c2  42111  aks6d1c6lem4  42154  aks6d1c7lem1  42161  aks6d1c7lem2  42162  pellexlem2  42817  pellexlem5  42820  pell14qrgt0  42846  pell1qrge1  42857  sqrtcvallem3  43627  sqrtcvallem5  43629  sqrtcval  43630  stirlingr  46045  rrndistlt  46245  qndenserrnbllem  46249  hoiqssbllem2  46578  sqrtnegnre  47256  sqrtpwpw2p  47462  requad01  47545  requad2  47547  ehl2eudis0lt  48575  inlinecirc02plem  48635