Theorem resqrtcld 15476

Description: The square root of a nonnegative real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		resqrtcl 15311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11250  √csqrt 15291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293

This theorem is used by:  isprm7  16773  nonsq  16824  ipcau2  25404  tcphcphlem1  25405  tcphcph  25407  rrxcph  25562  trirn  25570  rrxmet  25578  rrxdstprj1  25579  minveclem3b  25598  atans2  27107  chpub  27395  bposlem4  27462  bposlem5  27463  bposlem6  27464  bposlem9  27467  chpchtlim  27654  axsegconlem4  29281  ax5seglem3  29292  normf  31486  normgt0  31490  iconstr  34165  constrresqrtcl  34176  sqsscirc1  34307  hgt750lemd  35044  hgt750lem  35047  hgt750leme  35054  tgoldbachgtde  35056  sin2h  38289  cos2h  38290  dvasin  38383  areacirclem4  38390  areacirclem5  38391  areacirc  38392  rrnmet  38508  rrndstprj1  38509  rrndstprj2  38510  rrnequiv  38514  rrntotbnd  38515  aks6d1c2lem4  42922  aks6d1c2  42925  aks6d1c6lem4  42968  aks6d1c7lem1  42975  aks6d1c7lem2  42976  pellexlem2  43585  pellexlem5  43588  pell14qrgt0  43614  pell1qrge1  43625  sqrtcvallem3  44392  sqrtcvallem5  44394  sqrtcval  44395  stirlingr  46832  rrndistlt  47032  qndenserrnbllem  47036  hoiqssbllem2  47365  sqrtnegnre  48072  sqrtpwpw2p  48318  requad01  48414  requad2  48416  ehl2eudis0lt  49534  inlinecirc02plem  49594