MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrtcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqrtcld 15456
Description: The square root of a nonnegative real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrtcld (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcld
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqrcld.2 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 resqrtcl 15292 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  cr 11154  0cc0 11155  cle 11296  csqrt 15272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274
This theorem is referenced by:  isprm7  16745  nonsq  16796  ipcau2  25268  tcphcphlem1  25269  tcphcph  25271  rrxcph  25426  trirn  25434  rrxmet  25442  rrxdstprj1  25443  minveclem3b  25462  atans2  26974  chpub  27264  bposlem4  27331  bposlem5  27332  bposlem6  27333  bposlem9  27336  chpchtlim  27523  axsegconlem4  28935  ax5seglem3  28946  normf  31142  normgt0  31146  sqsscirc1  33907  hgt750lemd  34663  hgt750lem  34666  hgt750leme  34673  tgoldbachgtde  34675  sin2h  37617  cos2h  37618  dvasin  37711  areacirclem4  37718  areacirclem5  37719  areacirc  37720  rrnmet  37836  rrndstprj1  37837  rrndstprj2  37838  rrnequiv  37842  rrntotbnd  37843  aks6d1c2lem4  42128  aks6d1c2  42131  aks6d1c6lem4  42174  aks6d1c7lem1  42181  aks6d1c7lem2  42182  pellexlem2  42841  pellexlem5  42844  pell14qrgt0  42870  pell1qrge1  42881  sqrtcvallem3  43651  sqrtcvallem5  43653  sqrtcval  43654  stirlingr  46105  rrndistlt  46305  qndenserrnbllem  46309  hoiqssbllem2  46638  sqrtnegnre  47319  sqrtpwpw2p  47525  requad01  47608  requad2  47610  ehl2eudis0lt  48647  inlinecirc02plem  48707
  Copyright terms: Public domain W3C validator