Theorem resqrtcld 15447

Description: The square root of a nonnegative real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		resqrtcl 15282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  ℝcr 11074  0cc0 11075   ≤ cle 11219  √csqrt 15262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264

This theorem is referenced by:  isprm7  16745  nonsq  16796  ipcau2  25298  tcphcphlem1  25299  tcphcph  25301  rrxcph  25456  trirn  25464  rrxmet  25472  rrxdstprj1  25473  minveclem3b  25492  atans2  26998  chpub  27286  bposlem4  27353  bposlem5  27354  bposlem6  27355  bposlem9  27358  chpchtlim  27545  axsegconlem4  29123  ax5seglem3  29134  normf  31328  normgt0  31332  iconstr  34065  constrresqrtcl  34076  sqsscirc1  34207  hgt750lemd  34944  hgt750lem  34947  hgt750leme  34954  tgoldbachgtde  34956  sin2h  38114  cos2h  38115  dvasin  38208  areacirclem4  38215  areacirclem5  38216  areacirc  38217  rrnmet  38333  rrndstprj1  38334  rrndstprj2  38335  rrnequiv  38339  rrntotbnd  38340  aks6d1c2lem4  42749  aks6d1c2  42752  aks6d1c6lem4  42795  aks6d1c7lem1  42802  aks6d1c7lem2  42803  pellexlem2  43412  pellexlem5  43415  pell14qrgt0  43441  pell1qrge1  43452  sqrtcvallem3  44219  sqrtcvallem5  44221  sqrtcval  44222  stirlingr  46669  rrndistlt  46869  qndenserrnbllem  46873  hoiqssbllem2  47202  sqrtnegnre  47906  sqrtpwpw2p  48152  requad01  48248  requad2  48250  ehl2eudis0lt  49353  inlinecirc02plem  49413