Theorem le2sqd 13826

Description: The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2sqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2sqd.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lt2sqd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
le2sqd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Proof of Theorem le2sqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt2sqd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		lt2sqd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lt2sqd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		le2sq 13705	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729   ≤ cle 10868  2c2 11885  ↑cexp 13635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636

This theorem is referenced by:  abstri  14894  amgm2  14933  ipcau2  24131  tcphcphlem1  24132  trirn  24297  rrxdstprj1  24306  minveclem3b  24325  minveclem4  24329  minveclem6  24331  pjthlem1  24334  atans2  25814  basellem8  25970  chpub  26101  2sqmod  26317  dchrisum0  26401  mulog2sumlem2  26416  log2sumbnd  26425  logdivbnd  26437  pntlemk  26487  minvecolem4  28961  minvecolem5  28962  minvecolem6  28963  normpyc  29227  pjhthlem1  29472  chscllem2  29719  pjssposi  30253  areacirclem2  35603  areacirclem4  35605  areacirclem5  35606  areacirc  35607  cntotbnd  35691  rrndstprj1  35725  pell1qrge1  40395  pell1qrgaplem  40398  pell14qrgapw  40401  pellqrex  40404