Theorem nvz 30698

Description: The norm of a vector is zero iff the vector is zero. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvz.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvz.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvz.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvz	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Proof of Theorem nvz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvz.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
5		nvz.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	nvi 30643	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (⟨( +𝑣 ‘𝑈), ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩ ∈ CVecOLD ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))
7	6	simp3d 1143	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
8		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))) → ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
9	8	ralimi 3081	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
10		fveqeq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
11		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝑍))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
13	12	rspccv 3619	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
14	7, 9, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
15	14	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍))
16		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝑍))
17	4, 5	nvz0 30697	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)
18	16, 17	sylan9eqr 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 = 𝑍) → (𝑁‘𝐴) = 0)
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = 0))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = 0))
21	15, 20	impbid 212	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294  abscabs 15270  CVec_OLDcvc 30587  NrmCVeccnv 30613   +_𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·_𝑠OLD cns 30616  0_veccn0v 30617  norm_CVcnmcv 30619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629

This theorem is referenced by:  nvgt0  30703  nv1  30704  imsmetlem  30719  ipz  30748  nmlno0lem  30822  nmblolbii  30828  blocnilem  30833  siii  30882  hlipgt0  30943