Theorem nvz 28932

Description: The norm of a vector is zero iff the vector is zero. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvz.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvz.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvz.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvz	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Proof of Theorem nvz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvz.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
5		nvz.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	nvi 28877	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (⟨( +𝑣 ‘𝑈), ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩ ∈ CVecOLD ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))
7	6	simp3d 1142	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
8		simp1 1134	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))) → ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
9	8	ralimi 3086	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
10		fveqeq2 6765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
11		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝑍))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
13	12	rspccv 3549	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
14	7, 9, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
15	14	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍))
16		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝑍))
17	4, 5	nvz0 28931	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)
18	16, 17	sylan9eqr 2801	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 = 𝑍) → (𝑁‘𝐴) = 0)
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = 0))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = 0))
21	15, 20	impbid 211	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941  abscabs 14873  CVec_OLDcvc 28821  NrmCVeccnv 28847   +_𝑣 cpv 28848  BaseSetcba 28849   ·_𝑠OLD cns 28850  0_veccn0v 28851  norm_CVcnmcv 28853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-nmcv 28863

This theorem is referenced by:  nvgt0  28937  nv1  28938  imsmetlem  28953  ipz  28982  nmlno0lem  29056  nmblolbii  29062  blocnilem  29067  siii  29116  hlipgt0  29177