Theorem nvz 30873

Description: The norm of a vector is zero iff the vector is zero. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvz.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvz.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvz.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvz	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Proof of Theorem nvz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvz.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
5		nvz.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	nvi 30818	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (⟨( +𝑣 ‘𝑈), ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩ ∈ CVecOLD ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))
7	6	simp3d 1158	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
8		simp1 1150	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))) → ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
9	8	ralimi 3100	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
10		fveqeq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
11		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝑍))
12	10, 11	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
13	12	rspccv 3579	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
14	7, 9, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
15	14	imp 410	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍))
16		fveq2 6868	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝑍))
17	4, 5	nvz0 30872	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)
18	16, 17	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 = 𝑍) → (𝑁‘𝐴) = 0)
19	18	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = 0))
20	19	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = 0))
21	15, 20	impbid 214	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074   + caddc 11077   · cmul 11079   ≤ cle 11218  abscabs 15262  CVec_OLDcvc 30762  NrmCVeccnv 30788   +_𝑣 cpv 30789  BaseSetcba 30790   ·_𝑠OLD cns 30791  0_veccn0v 30792  norm_CVcnmcv 30794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-sup 9389  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-grpo 30697  df-gid 30698  df-ginv 30699  df-ablo 30749  df-vc 30763  df-nv 30796  df-va 30799  df-ba 30800  df-sm 30801  df-0v 30802  df-nmcv 30804

This theorem is referenced by:  nvgt0  30878  nv1  30879  imsmetlem  30894  ipz  30923  nmlno0lem  30997  nmblolbii  31003  blocnilem  31008  siii  31057  hlipgt0  31118