Theorem nvz 28604

Description: The norm of a vector is zero iff the vector is zero. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvz.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvz.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvz.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvz	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Proof of Theorem nvz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvz.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
5		nvz.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	nvi 28549	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (⟨( +𝑣 ‘𝑈), ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩ ∈ CVecOLD ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))
7	6	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))))
8		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))) → ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
9	8	ralimi 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
10		fveqeq2 6683	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘𝑥) = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
11		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝑍))
12	10, 11	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
13	12	rspccv 3523	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
14	7, 9, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
15	14	imp 410	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍))
16		fveq2 6674	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝑍))
17	4, 5	nvz0 28603	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘𝑍) = 0)
18	16, 17	sylan9eqr 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 = 𝑍) → (𝑁‘𝐴) = 0)
19	18	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = 0))
20	19	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁‘𝐴) = 0))
21	15, 20	impbid 215	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053  ⟨cop 4522   class class class wbr 5030  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℂcc 10613  ℝcr 10614  0cc0 10615   + caddc 10618   · cmul 10620   ≤ cle 10754  abscabs 14683  CVec_OLDcvc 28493  NrmCVeccnv 28519   +_𝑣 cpv 28520  BaseSetcba 28521   ·_𝑠OLD cns 28522  0_veccn0v 28523  norm_CVcnmcv 28525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ginv 28430  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-nmcv 28535

This theorem is referenced by:  nvgt0  28609  nv1  28610  imsmetlem  28625  ipz  28654  nmlno0lem  28728  nmblolbii  28734  blocnilem  28739  siii  28788  hlipgt0  28849