MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1lb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chto1lb 26981
Description: The ΞΈ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 26975. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chto1lb (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb
StepHypRef Expression
1 ovexd 7444 . . . . 5 (⊀ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
2 2re 12286 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 13422 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
54biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
65simpld 496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7 0red 11217 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ∈ ℝ)
9 2pos 12315 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < 2)
115simprd 497 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 11374 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
136, 12elrpd 13013 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
14 ppinncl 26678 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
1514nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
17 1red 11215 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 ∈ ℝ)
18 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 < 2)
2017, 8, 6, 19, 11ltletrd 11374 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 < π‘₯)
216, 20rplogcld 26137 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2216, 21rpmulcld 13032 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2313, 22rpdivcld 13033 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 13018 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
2524adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
26 chtrpcl 26679 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
275, 26syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2822, 27rpdivcld 13033 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2928rpcnd 13018 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3029adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
316recnd 11242 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3221rpcnd 13018 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3316rpcnd 13018 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3421rpne0d 13021 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) β‰  0)
3516rpne0d 13021 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) β‰  0)
3631, 32, 33, 34, 35divdiv1d 12021 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) = (π‘₯ / ((logβ€˜π‘₯) Β· (Ο€β€˜π‘₯))))
3732, 33mulcomd 11235 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (Ο€β€˜π‘₯)) = ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))
3837oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ / ((logβ€˜π‘₯) Β· (Ο€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
3936, 38eqtrd 2773 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) = (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
4039mpteq2ia 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
4227rpcnd 13018 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4322rpcnd 13018 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4427rpne0d 13021 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0)
4522rpne0d 13021 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) β‰  0)
4642, 43, 44, 45recdivd 12007 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
4746mpteq2ia 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
4847a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
491, 25, 30, 41, 48offval2 7690 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))))
5031, 43, 42, 45, 44dmdcan2d 12020 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5150mpteq2ia 5252 . . . 4 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5249, 51eqtrdi 2789 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
53 chebbnd1 26975 . . . 4 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
54 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
5554a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5627, 22rpdivcld 13033 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
5756adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
5857rpcnd 13018 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
596ssriv 3987 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
60 rlimconst 15488 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
6159, 54, 60mp2an 691 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
63 chtppilim 26978 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
65 ax-1ne0 11179 . . . . . . 7 1 β‰  0
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 β‰  0)
6756rpne0d 13021 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β‰  0)
6867adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β‰  0)
6955, 58, 62, 64, 66, 68rlimdiv 15592 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1))
70 rlimo1 15561 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
7169, 70syl 17 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
72 o1mul 15559 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝑂(1))
7353, 71, 72sylancr 588 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝑂(1))
7452, 73eqeltrrd 2835 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
7574mptru 1549 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  [,)cico 13326   β‡π‘Ÿ crli 15429  π‘‚(1)co1 15430  logclog 26063  ΞΈccht 26595  Ο€cppi 26598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-o1 15434  df-lo1 15435  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-cht 26601  df-ppi 26604
This theorem is referenced by:  chpchtlim  26982
  Copyright terms: Public domain W3C validator