MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1lb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chto1lb 27217
Description: The ΞΈ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 27211. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chto1lb (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb
StepHypRef Expression
1 ovexd 7446 . . . . 5 (⊀ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
2 2re 12290 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 13426 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
54biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
65simpld 493 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7 0red 11221 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ∈ ℝ)
9 2pos 12319 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < 2)
115simprd 494 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 11378 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
136, 12elrpd 13017 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
14 ppinncl 26914 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
1514nnrpd 13018 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
17 1red 11219 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 ∈ ℝ)
18 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 < 2)
2017, 8, 6, 19, 11ltletrd 11378 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 < π‘₯)
216, 20rplogcld 26373 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2216, 21rpmulcld 13036 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2313, 22rpdivcld 13037 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 13022 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
2524adantl 480 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
26 chtrpcl 26915 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
275, 26syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2822, 27rpdivcld 13037 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2928rpcnd 13022 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3029adantl 480 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
316recnd 11246 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3221rpcnd 13022 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3316rpcnd 13022 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3421rpne0d 13025 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) β‰  0)
3516rpne0d 13025 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) β‰  0)
3631, 32, 33, 34, 35divdiv1d 12025 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) = (π‘₯ / ((logβ€˜π‘₯) Β· (Ο€β€˜π‘₯))))
3732, 33mulcomd 11239 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (Ο€β€˜π‘₯)) = ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))
3837oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ / ((logβ€˜π‘₯) Β· (Ο€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
3936, 38eqtrd 2770 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯)) = (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
4039mpteq2ia 5250 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
4227rpcnd 13022 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4322rpcnd 13022 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4427rpne0d 13025 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0)
4522rpne0d 13025 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) β‰  0)
4642, 43, 44, 45recdivd 12011 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
4746mpteq2ia 5250 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
4847a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
491, 25, 30, 41, 48offval2 7692 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))))
5031, 43, 42, 45, 44dmdcan2d 12024 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5150mpteq2ia 5250 . . . 4 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
5249, 51eqtrdi 2786 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
53 chebbnd1 27211 . . . 4 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
54 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
5554a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5627, 22rpdivcld 13037 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
5756adantl 480 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
5857rpcnd 13022 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
596ssriv 3985 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
60 rlimconst 15492 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
6159, 54, 60mp2an 688 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
63 chtppilim 27214 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
65 ax-1ne0 11181 . . . . . . 7 1 β‰  0
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 β‰  0)
6756rpne0d 13025 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β‰  0)
6867adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β‰  0)
6955, 58, 62, 64, 66, 68rlimdiv 15596 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1))
70 rlimo1 15565 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
7169, 70syl 17 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
72 o1mul 15563 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝑂(1))
7353, 71, 72sylancr 585 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) / (Ο€β€˜π‘₯))) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝑂(1))
7452, 73eqeltrrd 2832 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
7574mptru 1546 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (π‘₯ / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12978  [,)cico 13330   β‡π‘Ÿ crli 15433  π‘‚(1)co1 15434  logclog 26299  ΞΈccht 26831  Ο€cppi 26834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-o1 15438  df-lo1 15439  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302  df-cht 26837  df-ppi 26840
This theorem is referenced by:  chpchtlim  27218
  Copyright terms: Public domain W3C validator