Theorem chto1lb 27446

Description: The θ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 27440. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chto1lb	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7445	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2		2re 12319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elicopnf 13467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
5	4	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
6	5	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		0red 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
8	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 12348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
11	5	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
12	7, 8, 6, 10, 11	ltletrd 11400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
13	6, 12	elrpd 13053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14		ppinncl 27141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
17		1red 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
20	17, 8, 6, 19, 11	ltletrd 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
21	6, 20	rplogcld 26595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	16, 21	rpmulcld 13072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23	13, 22	rpdivcld 13073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 13058	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
25	24	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
26		chtrpcl 27142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
28	22, 27	rpdivcld 13073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
29	28	rpcnd 13058	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
31	6	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	21	rpcnd 13058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
33	16	rpcnd 13058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
34	21	rpne0d 13061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
35	16	rpne0d 13061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ≠ 0)
36	31, 32, 33, 34, 35	divdiv1d 12053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) = (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π‘𝑥))))
37	32, 33	mulcomd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) · (π‘𝑥)) = ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
38	37	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π‘𝑥))) = (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
39	36, 38	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) = (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
40	39	mpteq2ia 5221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
42	27	rpcnd 13058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
43	22	rpcnd 13058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	27	rpne0d 13061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
45	22	rpne0d 13061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
46	42, 43, 44, 45	recdivd 12039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
47	46	mpteq2ia 5221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
49	1, 25, 30, 41, 48	offval2 7696	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
50	31, 43, 42, 45, 44	dmdcan2d 12052	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 / (θ‘𝑥)))
51	50	mpteq2ia 5221	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥)))
52	49, 51	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
53		chebbnd1 27440	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
54		ax-1cn 11192	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
56	27, 22	rpdivcld 13073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
57	56	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
58	57	rpcnd 13058	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
59	6	ssriv 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
60		rlimconst 15565	. . . . . . . 8 ⊢ (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
61	59, 54, 60	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
63		chtppilim 27443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
65		ax-1ne0 11203	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
67	56	rpne0d 13061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
68	67	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
69	55, 58, 62, 64, 66, 68	rlimdiv 15667	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
70		rlimo1 15638	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
71	69, 70	syl 17	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
72		o1mul 15636	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
73	53, 71, 72	sylancr 587	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
74	52, 73	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
75	74	mptru 1547	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139  +∞cpnf 11271   < clt 11274   ≤ cle 11275   / cdiv 11899  2c2 12300  ℝ⁺crp 13013  [,)cico 13369   ⇝_𝑟 crli 15506  𝑂(1)co1 15507  logclog 26520  θccht 27058  πcppi 27061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-o1 15511  df-lo1 15512  df-sum 15708  df-ef 16088  df-e 16089  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-pc 16862  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-cxp 26523  df-cht 27064  df-ppi 27067

This theorem is referenced by:  chpchtlim  27447