MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1lb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chto1lb 26359
Description: The θ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 26353. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chto1lb (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb
StepHypRef Expression
1 ovexd 7248 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2 2re 11904 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 13033 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
54biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 0red 10836 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11933 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
115simprd 499 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 10992 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
136, 12elrpd 12625 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14 ppinncl 26056 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
1514nnrpd 12626 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
17 1red 10834 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
18 1lt2 12001 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
2017, 8, 6, 19, 11ltletrd 10992 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
216, 20rplogcld 25517 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2216, 21rpmulcld 12644 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2313, 22rpdivcld 12645 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 12630 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
2524adantl 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
26 chtrpcl 26057 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
275, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2822, 27rpdivcld 12645 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2928rpcnd 12630 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
3029adantl 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
316recnd 10861 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
3221rpcnd 12630 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3316rpcnd 12630 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
3421rpne0d 12633 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
3516rpne0d 12633 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ≠ 0)
3631, 32, 33, 34, 35divdiv1d 11639 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) = (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π𝑥))))
3732, 33mulcomd 10854 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) · (π𝑥)) = ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
3837oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π𝑥))) = (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
3936, 38eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) = (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4039mpteq2ia 5146 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
4227rpcnd 12630 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
4322rpcnd 12630 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4427rpne0d 12633 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
4522rpne0d 12633 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
4642, 43, 44, 45recdivd 11625 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
4746mpteq2ia 5146 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
4847a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
491, 25, 30, 41, 48offval2 7488 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
5031, 43, 42, 45, 44dmdcan2d 11638 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 / (θ‘𝑥)))
5150mpteq2ia 5146 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥)))
5249, 51eqtrdi 2794 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
53 chebbnd1 26353 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
54 ax-1cn 10787 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5627, 22rpdivcld 12645 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5756adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5857rpcnd 12630 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
596ssriv 3905 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
60 rlimconst 15105 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
6159, 54, 60mp2an 692 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
63 chtppilim 26356 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
65 ax-1ne0 10798 . . . . . . 7 1 ≠ 0
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
6756rpne0d 12633 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6867adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6955, 58, 62, 64, 66, 68rlimdiv 15209 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
70 rlimo1 15178 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
7169, 70syl 17 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
72 o1mul 15176 . . . 4 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7353, 71, 72sylancr 590 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7452, 73eqeltrrd 2839 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
7574mptru 1550 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wtru 1544  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3408  wss 3866   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  f cof 7467  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  +∞cpnf 10864   < clt 10867  cle 10868   / cdiv 11489  2c2 11885  +crp 12586  [,)cico 12937  𝑟 crli 15046  𝑂(1)co1 15047  logclog 25443  θccht 25973  πcppi 25976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-o1 15051  df-lo1 15052  df-sum 15250  df-ef 15629  df-e 15630  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-pc 16390  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-cxp 25446  df-cht 25979  df-ppi 25982
This theorem is referenced by:  chpchtlim  26360
  Copyright terms: Public domain W3C validator