Theorem chto1lb 27810

Description: The θ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 27804. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chto1lb	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2		2re 12420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elicopnf 13579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
5	4	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
6	5	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		0red 11314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
8	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 12450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
11	5	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
12	7, 8, 6, 10, 11	ltletrd 11473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
13	6, 12	elrpd 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14		ppinncl 27506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
16	5, 15	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
17		1red 11312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
20	17, 8, 6, 19, 11	ltletrd 11473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
21	6, 20	rplogcld 26962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	16, 21	rpmulcld 13183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23	13, 22	rpdivcld 13184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 13169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
25	24	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
26		chtrpcl 27507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
27	5, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
28	22, 27	rpdivcld 13184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
29	28	rpcnd 13169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
30	29	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
31	6	recnd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	21	rpcnd 13169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
33	16	rpcnd 13169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
34	21	rpne0d 13172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
35	16	rpne0d 13172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ≠ 0)
36	31, 32, 33, 34, 35	divdiv1d 12127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) = (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π‘𝑥))))
37	32, 33	mulcomd 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) · (π‘𝑥)) = ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
38	37	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π‘𝑥))) = (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
39	36, 38	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) = (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
40	39	mpteq2ia 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
42	27	rpcnd 13169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
43	22	rpcnd 13169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	27	rpne0d 13172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
45	22	rpne0d 13172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
46	42, 43, 44, 45	recdivd 12113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
47	46	mpteq2ia 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
49	1, 25, 30, 41, 48	offval2 7713	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
50	31, 43, 42, 45, 44	dmdcan2d 12126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 / (θ‘𝑥)))
51	50	mpteq2ia 5199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥)))
52	49, 51	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
53		chebbnd1 27804	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
54		ax-1cn 11261	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
56	27, 22	rpdivcld 13184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
57	56	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
58	57	rpcnd 13169	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
59	6	ssriv 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
60		rlimconst 15716	. . . . . . . 8 ⊢ (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
61	59, 54, 60	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
63		chtppilim 27807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
65		ax-1ne0 11272	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
67	56	rpne0d 13172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
68	67	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
69	55, 58, 62, 64, 66, 68	rlimdiv 15818	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
70		rlimo1 15789	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
71	69, 70	syl 18	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
72		o1mul 15787	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
73	53, 71, 72	sylancr 599	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
74	52, 73	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
75	74	mptru 1576	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208  +∞cpnf 11343   < clt 11346   ≤ cle 11347   / cdiv 11976  2c2 12400  ℝ⁺crp 13123  [,)cico 13481   ⇝_𝑟 crli 15657  𝑂(1)co1 15658  logclog 26887  θccht 27423  πcppi 27426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-o1 15662  df-lo1 15663  df-sum 15859  df-ef 16238  df-e 16239  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-prm 16852  df-pc 17020  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-cxp 26890  df-cht 27429  df-ppi 27432

This theorem is used by:  chpchtlim  27811