Theorem chto1lb 25736

Description: The θ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 25730. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chto1lb	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7050	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2		2re 11559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elicopnf 12683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
5	4	biimpi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
6	5	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		0red 10490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
8	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
11	5	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
12	7, 8, 6, 10, 11	ltletrd 10647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
13	6, 12	elrpd 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14		ppinncl 25433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
17		1red 10488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 11656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
20	17, 8, 6, 19, 11	ltletrd 10647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
21	6, 20	rplogcld 24893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	16, 21	rpmulcld 12297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23	13, 22	rpdivcld 12298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 12283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
25	24	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
26		chtrpcl 25434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
28	22, 27	rpdivcld 12298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
29	28	rpcnd 12283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
31	6	recnd 10515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	21	rpcnd 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
33	16	rpcnd 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
34	21	rpne0d 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
35	16	rpne0d 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ≠ 0)
36	31, 32, 33, 34, 35	divdiv1d 11295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) = (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π‘𝑥))))
37	32, 33	mulcomd 10508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) · (π‘𝑥)) = ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
38	37	oveq2d 7032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π‘𝑥))) = (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
39	36, 38	eqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) = (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
40	39	mpteq2ia 5051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
42	27	rpcnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
43	22	rpcnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
44	27	rpne0d 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
45	22	rpne0d 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
46	42, 43, 44, 45	recdivd 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
47	46	mpteq2ia 5051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
49	1, 25, 30, 41, 48	offval2 7284	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
50	31, 43, 42, 45, 44	dmdcan2d 11294	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 / (θ‘𝑥)))
51	50	mpteq2ia 5051	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥)))
52	49, 51	syl6eq 2847	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
53		chebbnd1 25730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
54		ax-1cn 10441	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
56	27, 22	rpdivcld 12298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
57	56	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
58	57	rpcnd 12283	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
59	6	ssriv 3893	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
60		rlimconst 14735	. . . . . . . 8 ⊢ (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
61	59, 54, 60	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
63		chtppilim 25733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
65		ax-1ne0 10452	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
67	56	rpne0d 12286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
68	67	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
69	55, 58, 62, 64, 66, 68	rlimdiv 14836	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
70		rlimo1 14807	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
71	69, 70	syl 17	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
72		o1mul 14805	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
73	53, 71, 72	sylancr 587	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
74	52, 73	eqeltrrd 2884	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
75	74	mptru 1529	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522  ⊤wtru 1523   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962   ↦ cmpt 5041  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∘_𝑓 cof 7265  ℂcc 10381  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388  +∞cpnf 10518   < clt 10521   ≤ cle 10522   / cdiv 11145  2c2 11540  ℝ⁺crp 12239  [,)cico 12590   ⇝_𝑟 crli 14676  𝑂(1)co1 14677  logclog 24819  θccht 25350  πcppi 25353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-o1 14681  df-lo1 14682  df-sum 14877  df-ef 15254  df-e 15255  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-prm 15845  df-pc 16003  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-cxp 24822  df-cht 25356  df-ppi 25359

This theorem is referenced by:  chpchtlim  25737