Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1lb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chto1lb 26076
 Description: The θ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 26070. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chto1lb (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1lb
StepHypRef Expression
1 ovexd 7175 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2 2re 11706 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 12830 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
54biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 0red 10640 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11735 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
115simprd 499 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 10796 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
136, 12elrpd 12423 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14 ppinncl 25773 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
1514nnrpd 12424 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
17 1red 10638 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
18 1lt2 11803 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
2017, 8, 6, 19, 11ltletrd 10796 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
216, 20rplogcld 25234 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2216, 21rpmulcld 12442 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2313, 22rpdivcld 12443 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 12428 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
2524adantl 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
26 chtrpcl 25774 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
275, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2822, 27rpdivcld 12443 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2928rpcnd 12428 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
3029adantl 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℂ)
316recnd 10665 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
3221rpcnd 12428 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3316rpcnd 12428 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
3421rpne0d 12431 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
3516rpne0d 12431 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ≠ 0)
3631, 32, 33, 34, 35divdiv1d 11443 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) = (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π𝑥))))
3732, 33mulcomd 10658 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) · (π𝑥)) = ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
3837oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / ((log‘𝑥) · (π𝑥))) = (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
3936, 38eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) = (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4039mpteq2ia 5122 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
4227rpcnd 12428 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
4322rpcnd 12428 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4427rpne0d 12431 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
4522rpne0d 12431 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
4642, 43, 44, 45recdivd 11429 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
4746mpteq2ia 5122 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
4847a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
491, 25, 30, 41, 48offval2 7413 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
5031, 43, 42, 45, 44dmdcan2d 11442 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 / (θ‘𝑥)))
5150mpteq2ia 5122 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥)))
5249, 51eqtrdi 2849 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
53 chebbnd1 26070 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
54 ax-1cn 10591 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5627, 22rpdivcld 12443 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5756adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5857rpcnd 12428 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
596ssriv 3919 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
60 rlimconst 14900 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
6159, 54, 60mp2an 691 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
63 chtppilim 26073 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
65 ax-1ne0 10602 . . . . . . 7 1 ≠ 0
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
6756rpne0d 12431 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6867adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6955, 58, 62, 64, 66, 68rlimdiv 15001 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
70 rlimo1 14972 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
7169, 70syl 17 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
72 o1mul 14970 . . . 4 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7353, 71, 72sylancr 590 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7452, 73eqeltrrd 2891 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
7574mptru 1545 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140   ∘f cof 7393  ℂcc 10531  ℝcr 10532  0cc0 10533  1c1 10534   · cmul 10538  +∞cpnf 10668   < clt 10671   ≤ cle 10672   / cdiv 11293  2c2 11687  ℝ+crp 12384  [,)cico 12735   ⇝𝑟 crli 14841  𝑂(1)co1 14842  logclog 25160  θccht 25690  πcppi 25693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612  ax-mulf 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-o1 14846  df-lo1 14847  df-sum 15042  df-ef 15420  df-e 15421  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-dvds 15607  df-gcd 15841  df-prm 16013  df-pc 16171  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-fbas 20096  df-fg 20097  df-cnfld 20100  df-top 21513  df-topon 21530  df-topsp 21552  df-bases 21565  df-cld 21638  df-ntr 21639  df-cls 21640  df-nei 21717  df-lp 21755  df-perf 21756  df-cn 21846  df-cnp 21847  df-haus 21934  df-tx 22181  df-hmeo 22374  df-fil 22465  df-fm 22557  df-flim 22558  df-flf 22559  df-xms 22941  df-ms 22942  df-tms 22943  df-cncf 23497  df-limc 24483  df-dv 24484  df-log 25162  df-cxp 25163  df-cht 25696  df-ppi 25699 This theorem is referenced by:  chpchtlim  26077
 Copyright terms: Public domain W3C validator