Theorem oppgoppchom 49583

Description: The converted opposite monoid has the same hom-set as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 21-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
oppgoppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
oppgoppchom.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))
oppgoppchom.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
oppgoppchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (𝑌𝐽𝑌))

Proof of Theorem oppgoppchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (oppg‘𝑀) = (oppg‘𝑀)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3	1, 2	oppgbas 19290	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(oppg‘𝑀))
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘(oppg‘𝑀)))
5		mndtccat.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
6		mndtccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		oppgoppchom.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9	7, 8	oppcbas 17686	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
10	9	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
12		oppgoppchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
13		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
14	5, 6, 11, 12, 12, 13	mndtchom 49577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑌) = (Base‘𝑀))
15		oppgoppchom.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
16	1	oppgmnd 19293	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
17	6, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
18		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
19		oppgoppchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
20		oppgoppchom.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))
21	15, 17, 18, 19, 19, 20	mndtchom 49577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (Base‘(oppg‘𝑀)))
22	4, 14, 21	3eqtr4rd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑌))
23		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
24	23, 7	oppchom 17683	. . 3 ⊢ (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑌)
25	22, 24	eqtr4di 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑌))
26		oppgoppchom.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝑂))
27	26	oveqd 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐽𝑌) = (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑌))
28	25, 27	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (𝑌𝐽𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Hom chom 17238  oppCatcoppc 17679  Mndcmnd 18668  opp_gcoppg 19284  MndToCatcmndtc 49570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-oppc 17680  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-oppg 19285  df-mndtc 49571

This theorem is referenced by: (None)