Theorem oppgoppchom 48898

Description: The converted opposite monoid has the same hom-set as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 21-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
oppgoppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
oppgoppchom.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))
oppgoppchom.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
oppgoppchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (𝑌𝐽𝑌))

Proof of Theorem oppgoppchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (oppg‘𝑀) = (oppg‘𝑀)
2		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3	1, 2	oppgbas 19382	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(oppg‘𝑀))
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘(oppg‘𝑀)))
5		mndtccat.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
6		mndtccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		oppgoppchom.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9	7, 8	oppcbas 17763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
10	9	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
12		oppgoppchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
13		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
14	5, 6, 11, 12, 12, 13	mndtchom 48892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑌) = (Base‘𝑀))
15		oppgoppchom.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
16	1	oppgmnd 19387	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
17	6, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
18		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
19		oppgoppchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
20		oppgoppchom.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))
21	15, 17, 18, 19, 19, 20	mndtchom 48892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (Base‘(oppg‘𝑀)))
22	4, 14, 21	3eqtr4rd 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑌))
23		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
24	23, 7	oppchom 17760	. . 3 ⊢ (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑌)
25	22, 24	eqtr4di 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑌))
26		oppgoppchom.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝑂))
27	26	oveqd 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐽𝑌) = (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑌))
28	25, 27	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋) = (𝑌𝐽𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  Hom chom 17308  oppCatcoppc 17755  Mndcmnd 18759  opp_gcoppg 19375  MndToCatcmndtc 48885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-oppc 17756  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-oppg 19376  df-mndtc 48886

This theorem is referenced by: (None)