Theorem oppgoppcco 49979

Description: The converted opposite monoid has the same composition as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
oppgoppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
oppgoppcco.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
oppgoppcco.x	⊢ (𝜑 → ∙ = (comp‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
oppgoppcco	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌⟩ ∙ 𝑌))

Proof of Theorem oppgoppcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtccat.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
2		mndtccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		oppgoppchom.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17655	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
6	5	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
8		oppgoppchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
9		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶))
10	1, 2, 7, 8, 8, 8, 9	mndtcco 49973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌) = (+g‘𝑀))
11	10	tposeqd 8183	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌) = tpos (+g‘𝑀))
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13	6, 12, 3, 8, 8, 8	oppccofval 17653	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌) = tpos (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌))
14		oppgoppchom.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (oppg‘𝑀) = (oppg‘𝑀)
16	15	oppgmnd 19300	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
18		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
19		oppgoppchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
20		oppgoppcco.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
21	14, 17, 18, 19, 19, 19, 20	mndtcco 49973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = (+g‘(oppg‘𝑀)))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑀)) = (+g‘(oppg‘𝑀))
24	22, 15, 23	oppgplusfval 19294	. . . 4 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑀)) = tpos (+g‘𝑀)
25	21, 24	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = tpos (+g‘𝑀))
26	11, 13, 25	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌))
27		oppgoppcco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (comp‘𝑂))
28	27	oveqd 7387	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌⟩ ∙ 𝑌) = (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌))
29	26, 28	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌⟩ ∙ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  tpos ctpos 8179  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  compcco 17203  oppCatcoppc 17648  Mndcmnd 18673  opp_gcoppg 19291  MndToCatcmndtc 49965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-oppc 17649  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-oppg 19292  df-mndtc 49966

This theorem is referenced by: (None)