Theorem oppgoppcco 49573

Description: The converted opposite monoid has the same composition as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
oppgoppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
oppgoppcco.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
oppgoppcco.x	⊢ (𝜑 → ∙ = (comp‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
oppgoppcco	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌⟩ ∙ 𝑌))

Proof of Theorem oppgoppcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtccat.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
2		mndtccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		oppgoppchom.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17659	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
6	5	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
8		oppgoppchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
9		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶))
10	1, 2, 7, 8, 8, 8, 9	mndtcco 49567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌) = (+g‘𝑀))
11	10	tposeqd 8185	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌) = tpos (+g‘𝑀))
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13	6, 12, 3, 8, 8, 8	oppccofval 17657	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌) = tpos (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌))
14		oppgoppchom.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (oppg‘𝑀) = (oppg‘𝑀)
16	15	oppgmnd 19268	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
18		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
19		oppgoppchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
20		oppgoppcco.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
21	14, 17, 18, 19, 19, 19, 20	mndtcco 49567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = (+g‘(oppg‘𝑀)))
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑀)) = (+g‘(oppg‘𝑀))
24	22, 15, 23	oppgplusfval 19262	. . . 4 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑀)) = tpos (+g‘𝑀)
25	21, 24	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = tpos (+g‘𝑀))
26	11, 13, 25	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌))
27		oppgoppcco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (comp‘𝑂))
28	27	oveqd 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌⟩ ∙ 𝑌) = (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌))
29	26, 28	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋⟩ · 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌⟩ ∙ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  tpos ctpos 8181  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  compcco 17208  oppCatcoppc 17652  Mndcmnd 18643  opp_gcoppg 19259  MndToCatcmndtc 49559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-oppc 17653  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-oppg 19260  df-mndtc 49560

This theorem is referenced by: (None)