Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oppgoppcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgoppcco 49164
Description: The converted opposite monoid has the same composition as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mndtccat.c (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d (𝜑𝐷 = (MndToCat‘(oppg𝑀)))
oppgoppchom.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
oppgoppcco.o (𝜑· = (comp‘𝐷))
oppgoppcco.x (𝜑 = (comp‘𝑂))
Assertion
Ref Expression
oppgoppcco (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋· 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌 𝑌))

Proof of Theorem oppgoppcco
StepHypRef Expression
1 mndtccat.c . . . . 5 (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
2 mndtccat.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
3 oppgoppchom.o . . . . . . . 8 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
53, 4oppcbas 17757 . . . . . . 7 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
65eqcomi 2745 . . . . . 6 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
8 oppgoppchom.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
9 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶))
101, 2, 7, 8, 8, 8, 9mndtcco 49158 . . . 4 (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌) = (+g𝑀))
1110tposeqd 8250 . . 3 (𝜑 → tpos (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌) = tpos (+g𝑀))
12 eqid 2736 . . . 4 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
136, 12, 3, 8, 8, 8oppccofval 17755 . . 3 (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌) = tpos (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑌))
14 oppgoppchom.d . . . . 5 (𝜑𝐷 = (MndToCat‘(oppg𝑀)))
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (oppg𝑀) = (oppg𝑀)
1615oppgmnd 19369 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd → (oppg𝑀) ∈ Mnd)
172, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (oppg𝑀) ∈ Mnd)
18 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
19 oppgoppchom.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
20 oppgoppcco.o . . . . 5 (𝜑· = (comp‘𝐷))
2114, 17, 18, 19, 19, 19, 20mndtcco 49158 . . . 4 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋· 𝑋) = (+g‘(oppg𝑀)))
22 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
23 eqid 2736 . . . . 5 (+g‘(oppg𝑀)) = (+g‘(oppg𝑀))
2422, 15, 23oppgplusfval 19362 . . . 4 (+g‘(oppg𝑀)) = tpos (+g𝑀)
2521, 24eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋· 𝑋) = tpos (+g𝑀))
2611, 13, 253eqtr4rd 2787 . 2 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋· 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌))
27 oppgoppcco.x . . 3 (𝜑 = (comp‘𝑂))
2827oveqd 7446 . 2 (𝜑 → (⟨𝑌, 𝑌 𝑌) = (⟨𝑌, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑌))
2926, 28eqtr4d 2779 1 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑋· 𝑋) = (⟨𝑌, 𝑌 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cop 4630  cfv 6559  (class class class)co 7429  tpos ctpos 8246  Basecbs 17243  +gcplusg 17293  compcco 17305  oppCatcoppc 17750  Mndcmnd 18743  oppgcoppg 19359  MndToCatcmndtc 49150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-hom 17317  df-cco 17318  df-0g 17482  df-oppc 17751  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-oppg 19360  df-mndtc 49151
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator