Theorem pi1bas 24965

Description: The base set of the fundamental group of a topological space at a given base point. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))

Proof of Theorem pi1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1val.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1val.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1val.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		pi1val.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	pi1val 24964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑂 /s ( ≃ph‘𝐽)))
6		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
7		fvexd 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
8	4	ovexi 7380	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
10	5, 6, 7, 9	qusbas 17449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)) = (Base‘𝐺))
11		pi1bas.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
12		qseq1 8681	. . 3 ⊢ (𝐾 = (Base‘𝑂) → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)))
14		pi1bas.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
15	10, 13, 14	3eqtr4rd 2777	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   / cqs 8621  Basecbs 17120  TopOnctopon 22825   ≃_phcphtpc 24895   Ω₁ comi 24928   π₁ cpi1 24930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-imas 17412  df-qus 17413  df-topon 22826  df-pi1 24935

This theorem is referenced by:  pi1buni  24967  pi1bas2  24968