Theorem pi1bas 25250

Description: The base set of the fundamental group of a topological space at a given base point. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))

Proof of Theorem pi1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1val.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1val.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1val.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		pi1val.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	pi1val 25249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑂 /s ( ≃ph‘𝐽)))
6		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
7		fvexd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
8	4	ovexi 7453	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
10	5, 6, 7, 9	qusbas 17623	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)) = (Base‘𝐺))
11		pi1bas.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
12		qseq1 8760	. . 3 ⊢ (𝐾 = (Base‘𝑂) → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)))
14		pi1bas.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
15	10, 13, 14	3eqtr4rd 2811	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   / cqs 8699  Basecbs 17293  TopOnctopon 23119   ≃_phcphtpc 25181   Ω₁ comi 25213   π₁ cpi1 25215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-imas 17586  df-qus 17587  df-topon 23120  df-pi1 25220

This theorem is used by:  pi1buni  25252  pi1bas2  25253