Theorem pi1bas 25197

Description: The base set of the fundamental group of a topological space at a given base point. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))

Proof of Theorem pi1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1val.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1val.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1val.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		pi1val.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	pi1val 25196	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑂 /s ( ≃ph‘𝐽)))
6		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
7		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
8	4	ovexi 7444	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
10	5, 6, 7, 9	qusbas 17594	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)) = (Base‘𝐺))
11		pi1bas.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
12		qseq1 8750	. . 3 ⊢ (𝐾 = (Base‘𝑂) → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = ((Base‘𝑂) / ( ≃ph‘𝐽)))
14		pi1bas.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
15	10, 13, 14	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   / cqs 8689  Basecbs 17264  TopOnctopon 23067   ≃_phcphtpc 25128   Ω₁ comi 25160   π₁ cpi1 25162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-imas 17557  df-qus 17558  df-topon 23068  df-pi1 25167

This theorem is referenced by:  pi1buni  25199  pi1bas2  25200