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Theorem cshweqdif2 14776
Description: If cyclically shifting two words (of the same length) results in the same word, cyclically shifting one of the words by the difference of the numbers of shifts results in the other word. (Contributed by AV, 21-Apr-2018.) (Revised by AV, 6-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqdif2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = 𝑊))

Proof of Theorem cshweqdif2
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
21adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
3 zsubcl 12611 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
43ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
54adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
6 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
76adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
82, 5, 73jca 1127 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
98adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
10 3cshw 14775 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑈) − 𝑀)))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑈) − 𝑀)))
12 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉))
1312ancomd 461 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉))
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉))
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
1615ancomd 461 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
18 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀))
1918eqcomd 2737 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift 𝑀) = (𝑊 cyclShift 𝑁))
20 cshwleneq 14774 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑈 cyclShift 𝑀) = (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))
2114, 17, 19, 20syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))
2221oveq1d 7427 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((♯‘𝑈) − 𝑀) = ((♯‘𝑊) − 𝑀))
2322oveq2d 7428 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑈) − 𝑀)) = (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)))
2411, 23eqtrd 2771 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)))
2519oveq1d 7427 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift (𝑀𝑁)))
26 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2928adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3027, 29, 53jca 1127 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ))
32 2cshw 14770 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift (𝑀𝑁)) = (𝑊 cyclShift (𝑁 + (𝑀𝑁))))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift (𝑀𝑁)) = (𝑊 cyclShift (𝑁 + (𝑀𝑁))))
34 zcn 12570 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
35 zcn 12570 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3634, 35anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
3736adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
39 pncan3 11475 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + (𝑀𝑁)) = 𝑀)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑁 + (𝑀𝑁)) = 𝑀)
4140oveq2d 7428 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 + (𝑀𝑁))) = (𝑊 cyclShift 𝑀))
4225, 33, 413eqtrd 2775 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) = (𝑊 cyclShift 𝑀))
4342oveq1d 7427 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)))
44 lencl 14490 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 12591 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
47 zsubcl 12611 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ)
4846, 6, 47syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ)
4927, 7, 483jca 1127 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ))
5049adantr 480 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ))
51 2cshw 14770 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀))))
5250, 51syl 17 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀))))
5324, 43, 523eqtrd 2775 . . 3 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀))))
5444nn0cnd 12541 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
5635adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
5755, 56anim12i 612 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
5857ancomd 461 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℂ))
5958adantr 480 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℂ))
60 pncan3 11475 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℂ) → (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (♯‘𝑊))
6159, 60syl 17 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (♯‘𝑊))
6261oveq2d 7428 . . 3 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 cyclShift (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀))) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
63 cshwn 14754 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6427, 63syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6564adantr 480 . . 3 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6653, 62, 653eqtrd 2775 . 2 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = 𝑊)
6766ex 412 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114   + caddc 11119  cmin 11451  cz 12565  chash 14297  Word cword 14471   cyclShift ccsh 14745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-csh 14746
This theorem is referenced by:  cshweqdifid  14777
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