MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshweqdif2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshweqdif2 14173
Description: If cyclically shifting two words (of the same length) results in the same word, cyclically shifting one of the words by the difference of the numbers of shifts results in the other word. (Contributed by AV, 21-Apr-2018.) (Revised by AV, 6-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqdif2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = 𝑊))

Proof of Theorem cshweqdif2
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
21adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
3 zsubcl 12016 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
43ancoms 461 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
54adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
6 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
76adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
82, 5, 73jca 1122 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
98adantr 483 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
10 3cshw 14172 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑈) − 𝑀)))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑈) − 𝑀)))
12 simpl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉))
1312ancomd 464 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉))
1413adantr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉))
15 simpr 487 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
1615ancomd 464 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1716adantr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
18 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀))
1918eqcomd 2825 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift 𝑀) = (𝑊 cyclShift 𝑁))
20 cshwleneq 14171 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑈 cyclShift 𝑀) = (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))
2114, 17, 19, 20syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊))
2221oveq1d 7163 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((♯‘𝑈) − 𝑀) = ((♯‘𝑊) − 𝑀))
2322oveq2d 7164 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑈) − 𝑀)) = (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)))
2411, 23eqtrd 2854 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)))
2519oveq1d 7163 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift (𝑀𝑁)))
26 simpl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2726adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28 simpl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2928adantl 484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3027, 29, 53jca 1122 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ))
3130adantr 483 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ))
32 2cshw 14167 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift (𝑀𝑁)) = (𝑊 cyclShift (𝑁 + (𝑀𝑁))))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift (𝑀𝑁)) = (𝑊 cyclShift (𝑁 + (𝑀𝑁))))
34 zcn 11978 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
35 zcn 11978 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3634, 35anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
3736adantl 484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
3837adantr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
39 pncan3 10886 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + (𝑀𝑁)) = 𝑀)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑁 + (𝑀𝑁)) = 𝑀)
4140oveq2d 7164 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 + (𝑀𝑁))) = (𝑊 cyclShift 𝑀))
4225, 33, 413eqtrd 2858 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) = (𝑊 cyclShift 𝑀))
4342oveq1d 7163 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (((𝑈 cyclShift 𝑀) cyclShift (𝑀𝑁)) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)))
44 lencl 13875 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 12077 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4645adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
47 zsubcl 12016 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ)
4846, 6, 47syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ)
4927, 7, 483jca 1122 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ))
5049adantr 483 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ))
51 2cshw 14167 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀))))
5250, 51syl 17 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀))))
5324, 43, 523eqtrd 2858 . . 3 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀))))
5444nn0cnd 11949 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
5554adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
5635adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
5755, 56anim12i 614 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
5857ancomd 464 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℂ))
5958adantr 483 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℂ))
60 pncan3 10886 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℂ) → (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (♯‘𝑊))
6159, 60syl 17 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (♯‘𝑊))
6261oveq2d 7164 . . 3 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 cyclShift (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀))) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
63 cshwn 14151 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6427, 63syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6564adantr 483 . . 3 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
6653, 62, 653eqtrd 2858 . 2 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀)) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = 𝑊)
6766ex 415 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑈 cyclShift 𝑀) → (𝑈 cyclShift (𝑀𝑁)) = 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527   + caddc 10532  cmin 10862  cz 11973  chash 13682  Word cword 13853   cyclShift ccsh 14142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-substr 13995  df-pfx 14025  df-csh 14143
This theorem is referenced by:  cshweqdifid  14174
  Copyright terms: Public domain W3C validator