MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq2sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincosq2sgn 26556
Description: The signs of the sine and cosine functions in the second quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq2sgn (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq2sgn
StepHypRef Expression
1 halfpire 26521 . . 3 (π / 2) ∈ ℝ
2 pire 26515 . . 3 π ∈ ℝ
3 rexr 11305 . . . 4 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
4 rexr 11305 . . . 4 (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
5 elioo2 13425 . . . 4 (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < π)))
63, 4, 5syl2an 596 . . 3 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < π)))
71, 2, 6mp2an 692 . 2 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < π))
8 resubcl 11571 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
91, 8mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
10 0xr 11306 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
111rexri 11317 . . . . . . . . . 10 (π / 2) ∈ ℝ*
12 elioo2 13425 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2))))
1310, 11, 12mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)))
14 sincosq1sgn 26555 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
1513, 14sylbir 235 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
169, 15syl3an1 1162 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
17163expib 1121 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
18 0re 11261 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
19 ltsub13 11742 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
2018, 1, 19mp3an13 1451 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
21 recn 11243 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2221subid1d 11607 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2322breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) < (𝐴 − 0) ↔ (π / 2) < 𝐴))
2420, 23bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < 𝐴))
25 ltsubadd 11731 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
261, 1, 25mp3an23 1452 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
27 pidiv2halves 26524 . . . . . . . . 9 ((π / 2) + (π / 2)) = π
2827breq2i 5156 . . . . . . . 8 (𝐴 < ((π / 2) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < π)
2926, 28bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < π))
3024, 29anbi12d 632 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) ↔ ((π / 2) < 𝐴𝐴 < π)))
319resincld 16176 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
3231lt0neg2d 11831 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
3332anbi1d 631 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
3417, 30, 333imtr3d 293 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴𝐴 < π) → (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
351recni 11273 . . . . . . . . . 10 (π / 2) ∈ ℂ
36 pncan3 11514 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
3735, 21, 36sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
3837fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
399recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
40 coshalfpip 26551 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
4238, 41eqtr3d 2777 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
4342breq1d 5158 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
4437fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
45 sinhalfpip 26549 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
4639, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
4744, 46eqtr3d 2777 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
4847breq2d 5160 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘𝐴) ↔ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
4943, 48anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
5034, 49sylibrd 259 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴))))
51503impib 1115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)))
5251ancomd 461 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴𝐴 < π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
537, 52sylbi 217 1 (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  (,)cioo 13384  sincsin 16096  cosccos 16097  πcpi 16099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  sincosq3sgn  26557  coseq00topi  26559
  Copyright terms: Public domain W3C validator