Theorem sincosq2sgn 26738

Description: The signs of the sine and cosine functions in the second quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq2sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 26703	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2		pire 26693	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
3		rexr 11280	. . . 4 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
4		rexr 11280	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
5		elioo2 13440	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
7	1, 2, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
8		resubcl 11547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
9	1, 8	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
10		0xr 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11	1	rexri 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
12		elioo2 13440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2))))
13	10, 11, 12	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)))
14		sincosq1sgn 26737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
15	13, 14	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
16	9, 15	syl3an1 1181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
17	16	3expib 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
18		0re 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		ltsub13 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
20	18, 1, 19	mp3an13 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
21		recn 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	subid1d 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
23	22	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) < (𝐴 − 0) ↔ (π / 2) < 𝐴))
24	20, 23	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < 𝐴))
25		ltsubadd 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
26	1, 1, 25	mp3an23 1482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
27		pidiv2halves 26706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
28	27	breq2i 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < ((π / 2) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < π)
29	26, 28	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < π))
30	24, 29	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) ↔ ((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
31	9	resincld 16232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
32	31	lt0neg2d 11809	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
33	32	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
34	17, 30, 33	3imtr3d 296	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
35	1	recni 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
36		pncan3 11490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
37	35, 21, 36	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
38	37	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
39	9	recnd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
40		coshalfpip 26733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
42	38, 41	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
43	42	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
44	37	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
45		sinhalfpip 26731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
46	39, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
47	44, 46	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
48	47	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘𝐴) ↔ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
49	43, 48	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
50	34, 49	sylibrd 262	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴))))
51	50	3impib 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)))
52	51	ancomd 467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
53	7, 52	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125   + caddc 11128  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11896  2c2 12320  (,)cioo 13399  sincsin 16150  cosccos 16151  πcpi 16153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ioc 13404  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-bc 14368  df-hash 14396  df-shft 15141  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-ef 16154  df-sin 16156  df-cos 16157  df-pi 16159  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26094  df-dv 26095

This theorem is used by:  sincosq3sgn  26739  coseq00topi  26741