Theorem 2cshwid 14258

Description: Cyclically shifting a word two times resulting in the word itself. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 5-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2cshwid	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑁)) = 𝑊)

Proof of Theorem 2cshwid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13967	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12159	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
3		zsubcl 12098	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ ℤ)
4	2, 3	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ ℤ)
5		2cshw 14257	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊 cyclShift (𝑁 + ((♯‘𝑊) − 𝑁))))
6	4, 5	mpd3an3 1463	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊 cyclShift (𝑁 + ((♯‘𝑊) − 𝑁))))
7		zcn 12060	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8	1	nn0cnd 12031	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
9		pncan3 10965	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℂ) → (𝑁 + ((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (♯‘𝑊))
10	7, 8, 9	syl2anr 600	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 + ((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (♯‘𝑊))
11	10	oveq2d 7180	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 + ((♯‘𝑊) − 𝑁))) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
12		cshwn 14241	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
13	12	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
14	6, 11, 13	3eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝑁)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℂcc 10606   + caddc 10611   − cmin 10941  ℤcz 12055  ♯chash 13775  Word cword 13948   cyclShift ccsh 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-hash 13776  df-word 13949  df-concat 14005  df-substr 14085  df-pfx 14115  df-csh 14233

This theorem is referenced by:  3cshw  14262  2cshwcshw  14269  cshwshashlem2  16526  eleclclwwlknlem2  27990