Theorem prdsplusgfval 17450

Description: Value of a structure product sum at a single coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgfval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsplusgfval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
6		prdsplusgval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		prdsplusgval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		prdsplusgval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	prdsplusgval 17449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
10	9	fveq1d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽))
11		prdsplusgfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
12		2fveq3 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝐽)))
13		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐽))
14		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐽))
15	12, 13, 14	oveq123d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
16		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
17		ovex 7446	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
19	11, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
20	10, 19	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5227   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  +_gcplusg 17227  X_scprds 17421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-prds 17423

This theorem is referenced by:  prdssgrpd  18687  prdsmndd  18721  prdspjmhm  18780  prdsrngd  20115  prdsringd  20256  prdslmodd  20852  dsmmacl  21674