MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsplusgfval 16576
Description: Value of a structure product sum at a single coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsplusgval.p + = (+g𝑌)
prdsplusgfval.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsplusgfval (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))

Proof of Theorem prdsplusgfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
6 prdsplusgval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 prdsplusgval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
8 prdsplusgval.p . . . 4 + = (+g𝑌)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8prdsplusgval 16575 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
109fveq1d 6540 . 2 (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽))
11 prdsplusgfval.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
12 2fveq3 6543 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝐽)))
13 fveq2 6538 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐽))
14 fveq2 6538 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐽))
1512, 13, 14oveq123d 7037 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
16 eqid 2795 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
17 ovex 7048 . . . 4 ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6635 . . 3 (𝐽𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
2010, 19eqtrd 2831 1 (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081  cmpt 5041   Fn wfn 6220  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  Xscprds 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-prds 16550
This theorem is referenced by:  prdsmndd  17762  prdspjmhm  17806  prdsringd  19052  prdslmodd  19431  dsmmacl  20567
  Copyright terms: Public domain W3C validator