Theorem prdsplusgfval 16843

Description: Value of a structure product sum at a single coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgfval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsplusgfval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
6		prdsplusgval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		prdsplusgval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		prdsplusgval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	prdsplusgval 16842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
10	9	fveq1d 6670	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽))
11		prdsplusgfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
12		2fveq3 6673	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝐽)))
13		fveq2 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐽))
14		fveq2 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐽))
15	12, 13, 14	oveq123d 7185	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
17		ovex 7197	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6769	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
19	11, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
20	10, 19	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5107   Fn wfn 6328  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  +_gcplusg 16661  X_scprds 16815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-hom 16685  df-cco 16686  df-prds 16817

This theorem is referenced by:  prdsmndd  18053  prdspjmhm  18102  prdsringd  19477  prdslmodd  19853  dsmmacl  20550