MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsplusgfval 17447
Description: Value of a structure product sum at a single coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsplusgval.p + = (+g𝑌)
prdsplusgfval.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsplusgfval (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))

Proof of Theorem prdsplusgfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
6 prdsplusgval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 prdsplusgval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
8 prdsplusgval.p . . . 4 + = (+g𝑌)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8prdsplusgval 17446 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
109fveq1d 6893 . 2 (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽))
11 prdsplusgfval.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
12 2fveq3 6896 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝐽)))
13 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐽))
14 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐽))
1512, 13, 14oveq123d 7435 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
16 eqid 2727 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
17 ovex 7447 . . . 4 ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6999 . . 3 (𝐽𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
2010, 19eqtrd 2767 1 (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(+g‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cmpt 5225   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  Xscprds 17418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-prds 17420
This theorem is referenced by:  prdssgrpd  18684  prdsmndd  18718  prdspjmhm  18772  prdsrngd  20107  prdsringd  20246  prdslmodd  20842  dsmmacl  21662
  Copyright terms: Public domain W3C validator