Theorem prlnginn0 29303

Description: A line 𝐶 intersecting another line 𝐴 also intersects any line 𝐵 parallel to 𝐴. Theorem 12.16 of [Schwabhauser] p. 125. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlnginn0.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlnginn0.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlnginn0.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlnginn0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlnginn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlnginn0.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlnginn0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
prlnginn0.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
prlnginn0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
prlnginn0.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlnginn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlnginn0.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
prlnginn0.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
prlnginn0	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

Proof of Theorem prlnginn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlnginn0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
2	1	neneqd 2962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
3		prlnginn0.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		prlnginn0.p	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
5		prlnginn0.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
8		prlnginn0.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
10	3, 4, 6, 7, 9	prlngin0 29287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
11	2, 10	mtand 828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∥ 𝐶)
12		prlnginn0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
13	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		prlnginn0.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
16		prlnginn0.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
18		prlnginn0.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐵)
20		prlnginn0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
22		prlnginn0.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐵 ∥ 𝐶)
25	12, 4, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24	prlngplngtr 29302	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
26	11, 25	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∥ 𝐶)
27	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	3, 4, 5, 18	prlngrcl2 29286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
30		prlnginn0.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
32	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
33		prlnginn0.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
35	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅)
37	3, 12, 4, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 36	prlngd 29282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ∥ 𝐶)
38	26, 37	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅)
39	38	neqned 2964	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  TarskiGcstrkg 28766  TarskiG_Ecstrkge 28771  LineGclng 28773  hlGcplng 29128  parlnGcprlng 29279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkge 28790  df-trkgld 28791  df-trkg 28792  df-cgrg 28851  df-leg 28923  df-hlg 28941  df-mir 29002  df-rag 29046  df-perpg 29048  df-hpg 29113  df-plng 29129  df-prlng 29280

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29309