Theorem prlnginn0 29371

Description: A line 𝐶 intersecting another line 𝐴 also intersects any line 𝐵 parallel to 𝐴. Theorem 12.16 of [Schwabhauser] p. 125. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlnginn0.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlnginn0.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlnginn0.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlnginn0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlnginn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlnginn0.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlnginn0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
prlnginn0.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
prlnginn0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
prlnginn0.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlnginn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlnginn0.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
prlnginn0.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
prlnginn0	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

Proof of Theorem prlnginn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlnginn0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
2	1	neneqd 2960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
3		prlnginn0.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		prlnginn0.p	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
5		prlnginn0.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
8		prlnginn0.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
10	3, 4, 6, 7, 9	prlngin0 29355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
11	2, 10	mtand 828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∥ 𝐶)
12		prlnginn0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
13	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		prlnginn0.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
16		prlnginn0.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
18		prlnginn0.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐵)
20		prlnginn0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
22		prlnginn0.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐵 ∥ 𝐶)
25	12, 4, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24	prlngplngtr 29370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
26	11, 25	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∥ 𝐶)
27	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	3, 4, 5, 18	prlngrcl2 29354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
30		prlnginn0.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
32	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
33		prlnginn0.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
35	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅)
37	3, 12, 4, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 36	prlngd 29350	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ∥ 𝐶)
38	26, 37	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅)
39	38	neqned 2962	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ran crn 5648  ‘cfv 6527  TarskiGcstrkg 28822  TarskiG_Ecstrkge 28827  LineGclng 28829  hlGcplng 29184  parlnGcprlng 29347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-s2 14966  df-s3 14967  df-trkgc 28843  df-trkgb 28844  df-trkgcb 28845  df-trkge 28846  df-trkgld 28847  df-trkg 28848  df-cgrg 28907  df-leg 28979  df-hlg 28997  df-mir 29058  df-rag 29102  df-perpg 29104  df-hpg 29169  df-plng 29185  df-prlng 29348

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29377