Theorem prlnginn0 29465

Description: A line 𝐶 intersecting another line 𝐴 also intersects any line 𝐵 parallel to 𝐴. Theorem 12.16 of [Schwabhauser] p. 125. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlnginn0.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlnginn0.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlnginn0.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlnginn0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlnginn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlnginn0.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlnginn0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
prlnginn0.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
prlnginn0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
prlnginn0.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlnginn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlnginn0.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
prlnginn0.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
prlnginn0	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

Proof of Theorem prlnginn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlnginn0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
2	1	neneqd 2964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
3		prlnginn0.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		prlnginn0.p	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
5		prlnginn0.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
8		prlnginn0.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
10	3, 4, 6, 7, 9	prlngin0 29449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
11	2, 10	mtand 828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∥ 𝐶)
12		prlnginn0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
13	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		prlnginn0.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
16		prlnginn0.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
18		prlnginn0.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐵)
20		prlnginn0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
22		prlnginn0.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐵 ∥ 𝐶)
25	12, 4, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24	prlngplngtr 29464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∥ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
26	11, 25	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∥ 𝐶)
27	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	3, 4, 5, 18	prlngrcl2 29448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
30		prlnginn0.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
32	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
33		prlnginn0.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
35	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅)
37	3, 12, 4, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 36	prlngd 29444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐵 ∥ 𝐶)
38	26, 37	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅)
39	38	neqned 2966	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ran crn 5656  ‘cfv 6555  TarskiGcstrkg 28916  TarskiG_Ecstrkge 28921  LineGclng 28923  hlGcplng 29278  parlnGcprlng 29441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkge 28940  df-trkgld 28941  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-leg 29073  df-hlg 29091  df-mir 29152  df-rag 29196  df-perpg 29198  df-hpg 29263  df-plng 29279  df-prlng 29442

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29471