Theorem prlngplngtr 29302

Description: Transitivity of parallelism, for lines in the same plane 𝐻. This is case 1 of Theorem 12.15 of [Schwabhauser] p. 124. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngpln4.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlngpln4.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngpln4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngpln4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlngpln4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlngpln4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngplngtr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlngplngtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
prlngplngtr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prlngplngtr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)

Proof of Theorem prlngplngtr

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		prlngpln4.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
4		prlngpln4.p	. . . 4 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
5		prlngpln4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		prlngplngtr.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐶)
8	2, 4, 5, 7	prlngrcl2 29286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
10	2, 3, 4, 6, 9	prlngref 29283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∥ 𝐶)
11	1, 10	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
12	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		prlngpln4.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
14	2, 4, 5, 13	prlngrcl1 29285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
16	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
17		prlngpln4.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
18	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
19		prlngpln4.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
21		prlngplngtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
22	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
23		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
24	2, 3, 4, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 23	prlngd 29282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ∥ 𝐶)
25	24	stoic1a 1805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
26	25	neqned 2964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
27	26	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
28		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
29	5	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	2, 4, 5, 7	prlngrcl1 29285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
32		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
33	14	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
34		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
35	34	elin1d 4153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
36	28, 2, 32, 29, 33, 35	tglnpt 28889	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
37		prlngplngtr.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
38	37	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
39	28, 2, 4, 29, 31, 36, 38	prlngmo2 29299	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ∃*𝑎 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎))
40		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐵 ∥ 𝑎 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
41		eleq2w2 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
42	40, 41	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
43		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝐵 ∥ 𝑎 ↔ 𝐵 ∥ 𝐶))
44		eleq2w2 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
45	43, 44	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → ((𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) ↔ (𝐵 ∥ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
46	8	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
47	2, 3, 4, 5, 13	prlngsym 29284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐴)
48	47	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∥ 𝐴)
49	48, 35	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
50	7	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∥ 𝐶)
51	34	elin2d 4154	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
52	50, 51	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∥ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
53		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
54	42, 45, 33, 46, 49, 52, 53	nrmod 3842	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ¬ ∃*𝑎 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎))
55	39, 54	pm2.21fal 1592	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ⊥)
56	27, 55	n0limd 4304	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → ⊥)
57	56	efald 1591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
58	11, 57	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃*wrmo 3366   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  TarskiGcstrkg 28766  TarskiG_Ecstrkge 28771  Itvcitv 28772  LineGclng 28773  hlGcplng 29128  parlnGcprlng 29279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkge 28790  df-trkgld 28791  df-trkg 28792  df-cgrg 28851  df-leg 28923  df-hlg 28941  df-mir 29002  df-rag 29046  df-perpg 29048  df-hpg 29113  df-plng 29129  df-prlng 29280

This theorem is used by:  prlnginn0  29303