Theorem prlngplngtr 29370

Description: Transitivity of parallelism, for lines in the same plane 𝐻. This is case 1 of Theorem 12.15 of [Schwabhauser] p. 124. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngpln4.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlngpln4.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngpln4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngpln4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlngpln4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlngpln4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngplngtr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlngplngtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
prlngplngtr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prlngplngtr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)

Proof of Theorem prlngplngtr

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		prlngpln4.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
4		prlngpln4.p	. . . 4 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
5		prlngpln4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		prlngplngtr.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐶)
8	2, 4, 5, 7	prlngrcl2 29354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
10	2, 3, 4, 6, 9	prlngref 29351	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∥ 𝐶)
11	1, 10	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
12	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		prlngpln4.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
14	2, 4, 5, 13	prlngrcl1 29353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
16	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
17		prlngpln4.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
18	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
19		prlngpln4.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
21		prlngplngtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
22	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
23		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
24	2, 3, 4, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 23	prlngd 29350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ∥ 𝐶)
25	24	stoic1a 1805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
26	25	neqned 2962	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
27	26	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
28		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
29	5	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	2, 4, 5, 7	prlngrcl1 29353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
32		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
33	14	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
34		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
35	34	elin1d 4149	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
36	28, 2, 32, 29, 33, 35	tglnpt 28945	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
37		prlngplngtr.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
38	37	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
39	28, 2, 4, 29, 31, 36, 38	prlngmo2 29367	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ∃*𝑎 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎))
40		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐵 ∥ 𝑎 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
41		eleq2w2 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
42	40, 41	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
43		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝐵 ∥ 𝑎 ↔ 𝐵 ∥ 𝐶))
44		eleq2w2 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
45	43, 44	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → ((𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) ↔ (𝐵 ∥ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
46	8	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
47	2, 3, 4, 5, 13	prlngsym 29352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐴)
48	47	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∥ 𝐴)
49	48, 35	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
50	7	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∥ 𝐶)
51	34	elin2d 4150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
52	50, 51	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∥ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
53		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
54	42, 45, 33, 46, 49, 52, 53	nrmod 3838	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ¬ ∃*𝑎 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎))
55	39, 54	pm2.21fal 1592	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ⊥)
56	27, 55	n0limd 4300	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → ⊥)
57	56	efald 1591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
58	11, 57	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃*wrmo 3364   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ran crn 5648  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  TarskiGcstrkg 28822  TarskiG_Ecstrkge 28827  Itvcitv 28828  LineGclng 28829  hlGcplng 29184  parlnGcprlng 29347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-s2 14966  df-s3 14967  df-trkgc 28843  df-trkgb 28844  df-trkgcb 28845  df-trkge 28846  df-trkgld 28847  df-trkg 28848  df-cgrg 28907  df-leg 28979  df-hlg 28997  df-mir 29058  df-rag 29102  df-perpg 29104  df-hpg 29169  df-plng 29185  df-prlng 29348

This theorem is used by:  prlnginn0  29371