Theorem prlngplngtr 29185

Description: Transitivity of parallelism, for lines in the same plane 𝐻. This is case 1 of Theorem 12.15 of [Schwabhauser] p. 124. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngpln4.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlngpln4.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngpln4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngpln4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlngpln4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlngpln4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngplngtr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlngplngtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
prlngplngtr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prlngplngtr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)

Proof of Theorem prlngplngtr

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
2		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		prlngpln4.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
4		prlngpln4.p	. . . 4 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
5		prlngpln4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		prlngplngtr.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐶)
8	2, 4, 5, 7	prlngrcl2 29170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
10	2, 3, 4, 6, 9	prlngref 29167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∥ 𝐶)
11	1, 10	eqbrtrd 5138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
12	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		prlngpln4.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
14	2, 4, 5, 13	prlngrcl1 29169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
15	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
16	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
17		prlngpln4.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
18	17	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
19		prlngpln4.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
20	19	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
21		prlngplngtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
22	21	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
23		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
24	2, 3, 4, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 23	prlngd 29166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ∥ 𝐶)
25	24	stoic1a 1800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
26	25	neqned 2972	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
27	26	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
28		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
29	5	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	2, 4, 5, 7	prlngrcl1 29169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	30	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
32		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
33	14	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
34		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
35	34	elin1d 4165	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
36	28, 2, 32, 29, 33, 35	tglnpt 28798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
37		prlngplngtr.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
38	37	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
39	28, 2, 4, 29, 31, 36, 38	prlngmo2 29183	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ∃*𝑎 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎))
40		breq2 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐵 ∥ 𝑎 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
41		eleq2w2 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
42	40, 41	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
43		breq2 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝐵 ∥ 𝑎 ↔ 𝐵 ∥ 𝐶))
44		eleq2w2 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
45	43, 44	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → ((𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) ↔ (𝐵 ∥ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
46	8	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
47	2, 3, 4, 5, 13	prlngsym 29168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐴)
48	47	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∥ 𝐴)
49	48, 35	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
50	7	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∥ 𝐶)
51	34	elin2d 4166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
52	50, 51	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∥ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
53		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
54	42, 45, 33, 46, 49, 52, 53	nrmod 3853	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ¬ ∃*𝑎 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎))
55	39, 54	pm2.21fal 1590	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ⊥)
56	27, 55	n0limd 4316	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → ⊥)
57	56	efald 1589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
58	11, 57	pm2.61dane 3052	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568  ⊥wfal 1580   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∃*wrmo 3375   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5114  ran crn 5666  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  TarskiGcstrkg 28676  TarskiG_Ecstrkge 28681  Itvcitv 28682  LineGclng 28683  hlGcplng 29033  parlnGcprlng 29163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-concat 14611  df-s1 14637  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28697  df-trkgb 28698  df-trkgcb 28699  df-trkge 28700  df-trkgld 28701  df-trkg 28702  df-cgrg 28760  df-leg 28832  df-hlg 28850  df-mir 28910  df-rag 28953  df-perpg 28955  df-hpg 29019  df-plng 29034  df-prlng 29164

This theorem is referenced by:  prlnginn0  29186