Theorem prlngplngtr 29218

Description: Transitivity of parallelism, for lines in the same plane 𝐻. This is case 1 of Theorem 12.15 of [Schwabhauser] p. 124. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngpln4.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlngpln4.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngpln4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngpln4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlngpln4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlngpln4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngplngtr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlngplngtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
prlngplngtr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prlngplngtr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)

Proof of Theorem prlngplngtr

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		prlngpln4.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
4		prlngpln4.p	. . . 4 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
5		prlngpln4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		prlngplngtr.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐶)
8	2, 4, 5, 7	prlngrcl2 29202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
10	2, 3, 4, 6, 9	prlngref 29199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 ∥ 𝐶)
11	1, 10	eqbrtrd 5133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
12	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		prlngpln4.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
14	2, 4, 5, 13	prlngrcl1 29201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
15	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
16	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
17		prlngpln4.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
18	17	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
19		prlngpln4.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
20	19	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
21		prlngplngtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
22	21	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
23		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
24	2, 3, 4, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 23	prlngd 29198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅) → 𝐴 ∥ 𝐶)
25	24	stoic1a 1802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
26	25	neqned 2965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
27	26	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
28		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
29	5	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30	2, 4, 5, 7	prlngrcl1 29201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	30	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
32		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
33	14	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
34		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
35	34	elin1d 4157	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
36	28, 2, 32, 29, 33, 35	tglnpt 28827	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
37		prlngplngtr.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
38	37	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
39	28, 2, 4, 29, 31, 36, 38	prlngmo2 29215	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ∃*𝑎 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎))
40		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐵 ∥ 𝑎 ↔ 𝐵 ∥ 𝐴))
41		eleq2w2 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
42	40, 41	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
43		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝐵 ∥ 𝑎 ↔ 𝐵 ∥ 𝐶))
44		eleq2w2 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
45	43, 44	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → ((𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) ↔ (𝐵 ∥ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
46	8	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
47	2, 3, 4, 5, 13	prlngsym 29200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐴)
48	47	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∥ 𝐴)
49	48, 35	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
50	7	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∥ 𝐶)
51	34	elin2d 4158	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
52	50, 51	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∥ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
53		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
54	42, 45, 33, 46, 49, 52, 53	nrmod 3845	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ¬ ∃*𝑎 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐵 ∥ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎))
55	39, 54	pm2.21fal 1592	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → ⊥)
56	27, 55	n0limd 4308	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐴 ∥ 𝐶) → ⊥)
57	56	efald 1591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∥ 𝐶)
58	11, 57	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃*wrmo 3368   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ran crn 5662  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  TarskiGcstrkg 28705  TarskiG_Ecstrkge 28710  Itvcitv 28711  LineGclng 28712  hlGcplng 29064  parlnGcprlng 29195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-s3 14891  df-trkgc 28726  df-trkgb 28727  df-trkgcb 28728  df-trkge 28729  df-trkgld 28730  df-trkg 28731  df-cgrg 28789  df-leg 28861  df-hlg 28879  df-mir 28939  df-rag 28983  df-perpg 28985  df-hpg 29049  df-plng 29065  df-prlng 29196

This theorem is used by:  prlnginn0  29219