Theorem fprodex01 32917

Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodex01.1	⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
fprodex01	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodex01.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	eqeq1d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
3	2	cbvralvw 3217	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
4	3	bilanri 507	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
5	4	prodeq2d 15877	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 1)
6		fprodex01.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		prod1 15900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
8	7	olcs 882	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
11	5, 10	eqtr2d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
13		nfra1 3263	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
14	13	nfn 1864	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙 ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
15	12, 14	nfan 1906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
16		nfv 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0
17	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
18	17	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
19		pr01ssre 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
20		ax-resscn 11086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
22		fprodex01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
23	21, 22	sselid 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	adantlr 721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙 ∈ 𝐴)
28		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
29	1, 18, 26, 27, 28	fprodeq02 32916	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
30		rexnal 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
31	30	bilanri 507	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
32	22	ralrimiva 3131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
33	1	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
34	33	cbvralvw 3217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
35	32, 34	sylib 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
36	35	r19.21bi 3231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
37		c0ex 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
38		1ex 11131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
39	37, 38	elpr2 4582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
40	36, 39	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
41	40	orcomd 877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
42	41	ord 870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
43	42	reximdva 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
44	43	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
45	31, 44	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0)
46	15, 16, 29, 45	r19.29af2 3247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
47	46	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
48	11, 47	ifeqda 4491	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
49	48	eqcomd 2745	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ifcif 4454  {cpr 4557  ‘cfv 6485  Fincfn 8883  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030  ℤ_≥cuz 12779  ∏cprod 15859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860

This theorem is referenced by:  prodindf  32941