Theorem fprodex01 32536

Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodex01.1	⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
fprodex01	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
2		fprodex01.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq1d 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
4	3	cbvralvw 3228	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
5	1, 4	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
6	5	prodeq2d 15872	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 1)
7		fprodex01.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		prod1 15894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
9	8	olcs 873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
12	6, 11	eqtr2d 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
13		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
14		nfra1 3275	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
15	14	nfn 1852	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙 ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
16	13, 15	nfan 1894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
17		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0
18	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
20		pr01ssre 32535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
21		ax-resscn 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
22	20, 21	sstri 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
23		fprodex01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
24	22, 23	sselid 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙 ∈ 𝐴)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
30	2, 19, 27, 28, 29	fprodeq02 32534	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
31		rexnal 3094	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
32	31	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
34	23	ralrimiva 3140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
35	2	eleq1d 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
36	35	cbvralvw 3228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
37	34, 36	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
38	37	r19.21bi 3242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
39		c0ex 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
40		1ex 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
41	39, 40	elpr2 4648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
42	38, 41	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
43	42	orcomd 868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
44	43	ord 861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
45	44	reximdva 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
47	33, 46	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0)
48	16, 17, 30, 47	r19.29af2 3258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
49	48	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
50	12, 49	ifeqda 4559	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	eqcomd 2732	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943  ifcif 4523  {cpr 4625  ‘cfv 6537  Fincfn 8941  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ℤ_≥cuz 12826  ∏cprod 15855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856

This theorem is referenced by:  prodindf  33551