Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodex01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodex01 31426
Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodex01.1 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
Assertion
Ref Expression
fprodex01 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
2 fprodex01.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐶)
32eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
43cbvralvw 3221 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
51, 4sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 1)
65prodeq2d 15731 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘𝐴 1)
7 fprodex01.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 prod1 15753 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
98olcs 873 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
126, 11eqtr2d 2777 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
13 nfv 1916 . . . . . 6 𝑙𝜑
14 nfra1 3263 . . . . . . 7 𝑙𝑙𝐴 𝐶 = 1
1514nfn 1859 . . . . . 6 𝑙 ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1
1613, 15nfan 1901 . . . . 5 𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
17 nfv 1916 . . . . 5 𝑙𝑘𝐴 𝐵 = 0
187adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
1918ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
20 pr01ssre 31425 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} ⊆ ℝ
21 ax-resscn 11029 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
2220, 21sstri 3941 . . . . . . . . . 10 {0, 1} ⊆ ℂ
23 fprodex01.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
2422, 23sselid 3930 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2524adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2625adantlr 712 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2726adantlr 712 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 766 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙𝐴)
29 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
302, 19, 27, 28, 29fprodeq02 31424 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
31 rexnal 3099 . . . . . . . 8 (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
3231biimpri 227 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
3423ralrimiva 3139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
352eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
3635cbvralvw 3221 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
3734, 36sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑙𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
3837r19.21bi 3230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑙𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
39 c0ex 11070 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
40 1ex 11072 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
4139, 40elpr2 4598 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
4238, 41sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
4342orcomd 868 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
4443ord 861 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑙𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
4544reximdva 3161 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0))
4645adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0))
4733, 46mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0)
4816, 17, 30, 47r19.29af2 3246 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4948eqcomd 2742 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
5012, 49ifeqda 4509 . 2 (𝜑 → if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
5150eqcomd 2742 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  wss 3898  ifcif 4473  {cpr 4575  cfv 6479  Fincfn 8804  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973  cuz 12683  cprod 15714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-prod 15715
This theorem is referenced by:  prodindf  32289
  Copyright terms: Public domain W3C validator