Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodex01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodex01 32633
Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodex01.1 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
Assertion
Ref Expression
fprodex01 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
2 fprodex01.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐶)
32eqeq1d 2727 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
43cbvralvw 3225 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
51, 4sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 1)
65prodeq2d 15898 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘𝐴 1)
7 fprodex01.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 prod1 15920 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
98olcs 874 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
1110adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
126, 11eqtr2d 2766 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
13 nfv 1909 . . . . . 6 𝑙𝜑
14 nfra1 3272 . . . . . . 7 𝑙𝑙𝐴 𝐶 = 1
1514nfn 1852 . . . . . 6 𝑙 ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1
1613, 15nfan 1894 . . . . 5 𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
17 nfv 1909 . . . . 5 𝑙𝑘𝐴 𝐵 = 0
187adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
1918ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
20 pr01ssre 32632 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} ⊆ ℝ
21 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
2220, 21sstri 3982 . . . . . . . . . 10 {0, 1} ⊆ ℂ
23 fprodex01.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
2422, 23sselid 3970 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2524adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2625adantlr 713 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2726adantlr 713 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙𝐴)
29 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
302, 19, 27, 28, 29fprodeq02 32631 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
31 rexnal 3090 . . . . . . . 8 (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
3231biimpri 227 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
3332adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
3423ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
352eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
3635cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
3734, 36sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑙𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
3837r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑙𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
39 c0ex 11238 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
40 1ex 11240 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
4139, 40elpr2 4650 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
4238, 41sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
4342orcomd 869 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
4443ord 862 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑙𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
4544reximdva 3158 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0))
4645adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0))
4733, 46mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0)
4816, 17, 30, 47r19.29af2 3255 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4948eqcomd 2731 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
5012, 49ifeqda 4560 . 2 (𝜑 → if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
5150eqcomd 2731 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  wss 3939  ifcif 4524  {cpr 4626  cfv 6543  Fincfn 8962  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  cuz 12852  cprod 15881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882
This theorem is referenced by:  prodindf  33699
  Copyright terms: Public domain W3C validator