Theorem fprodex01 32831

Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodex01.1	⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
fprodex01	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
2		fprodex01.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq1d 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
4	3	cbvralvw 3234	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
5	1, 4	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
6	5	prodeq2d 15953	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 1)
7		fprodex01.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		prod1 15976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
9	8	olcs 876	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
12	6, 11	eqtr2d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
13		nfv 1911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
14		nfra1 3281	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
15	14	nfn 1854	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙 ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
16	13, 15	nfan 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
17		nfv 1911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0
18	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
20		pr01ssre 32830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
21		ax-resscn 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
22	20, 21	sstri 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
23		fprodex01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
24	22, 23	sselid 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙 ∈ 𝐴)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
30	2, 19, 27, 28, 29	fprodeq02 32829	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
31		rexnal 3097	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
32	31	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
34	23	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
35	2	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
36	35	cbvralvw 3234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
37	34, 36	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
38	37	r19.21bi 3248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
39		c0ex 11252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
40		1ex 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
41	39, 40	elpr2 4656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
42	38, 41	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
43	42	orcomd 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
44	43	ord 864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
45	44	reximdva 3165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
47	33, 46	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0)
48	16, 17, 30, 47	r19.29af2 3264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
49	48	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
50	12, 49	ifeqda 4566	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	eqcomd 2740	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962  ifcif 4530  {cpr 4632  ‘cfv 6562  Fincfn 8983  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  ℤ_≥cuz 12875  ∏cprod 15935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936

This theorem is referenced by:  prodindf  34003