Theorem fprodex01 32917

Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodex01.1	⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
fprodex01	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
2		fprodex01.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
4	3	cbvralvw 3216	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
5	1, 4	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
6	5	prodeq2d 15856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 1)
7		fprodex01.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		prod1 15879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
9	8	olcs 877	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
12	6, 11	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
13		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
14		nfra1 3262	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
15	14	nfn 1859	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙 ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1
16	13, 15	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
17		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0
18	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
20		pr01ssre 32916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
21		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
22	20, 21	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
23		fprodex01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
24	22, 23	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙 ∈ 𝐴)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
30	2, 19, 27, 28, 29	fprodeq02 32915	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
31		rexnal 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1)
32	31	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
34	23	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
35	2	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
36	35	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
37	34, 36	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
38	37	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
39		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
40		1ex 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
41	39, 40	elpr2 4609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
42	38, 41	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
43	42	orcomd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
44	43	ord 865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
45	44	reximdva 3151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0))
47	33, 46	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 0)
48	16, 17, 30, 47	r19.29af2 3246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
49	48	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
50	12, 49	ifeqda 4518	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = if(∀𝑙 ∈ 𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  {cpr 4584  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ℤ_≥cuz 12763  ∏cprod 15838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839

This theorem is referenced by:  prodindf  32955