Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodex01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodex01 30290
Description: A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodex01.1 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐶)
fprodex01.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodex01.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
Assertion
Ref Expression
fprodex01 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑙)

Proof of Theorem fprodex01
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
2 fprodex01.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐶)
32eqeq1d 2780 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 = 1 ↔ 𝐶 = 1))
43cbvralv 3383 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 1 ↔ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
51, 4sylibr 226 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 1)
65prodeq2d 15139 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘𝐴 1)
7 fprodex01.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 prod1 15161 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
98olcs 862 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
1110adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
126, 11eqtr2d 2815 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 1 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
13 nfv 1873 . . . . . 6 𝑙𝜑
14 nfra1 3169 . . . . . . 7 𝑙𝑙𝐴 𝐶 = 1
1514nfn 1819 . . . . . 6 𝑙 ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1
1613, 15nfan 1862 . . . . 5 𝑙(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
17 nfv 1873 . . . . 5 𝑙𝑘𝐴 𝐵 = 0
187adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 𝐴 ∈ Fin)
1918ad2antrr 713 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
20 pr01ssre 30289 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} ⊆ ℝ
21 ax-resscn 10394 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
2220, 21sstri 3869 . . . . . . . . . 10 {0, 1} ⊆ ℂ
23 fprodex01.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {0, 1})
2422, 23sseldi 3858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2524adantlr 702 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2625adantlr 702 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2726adantlr 702 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 756 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝑙𝐴)
29 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
302, 19, 27, 28, 29fprodeq02 30288 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝐶 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
31 rexnal 3185 . . . . . . . 8 (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 ↔ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1)
3231biimpri 220 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
3332adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1)
3423ralrimiva 3132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ {0, 1})
352eleq1d 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 𝐶 ∈ {0, 1}))
3635cbvralv 3383 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑙𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
3734, 36sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑙𝐴 𝐶 ∈ {0, 1})
3837r19.21bi 3158 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑙𝐴) → 𝐶 ∈ {0, 1})
39 c0ex 10435 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
40 1ex 10437 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
4139, 40elpr2 4466 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ {0, 1} ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
4238, 41sylib 210 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝐴) → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 = 1))
4342orcomd 857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝐴) → (𝐶 = 1 ∨ 𝐶 = 0))
4443ord 850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑙𝐴) → (¬ 𝐶 = 1 → 𝐶 = 0))
4544reximdva 3219 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0))
4645adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → (∃𝑙𝐴 ¬ 𝐶 = 1 → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0))
4733, 46mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∃𝑙𝐴 𝐶 = 0)
4816, 17, 30, 47r19.29af2 3271 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4948eqcomd 2784 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑙𝐴 𝐶 = 1) → 0 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
5012, 49ifeqda 4386 . 2 (𝜑 → if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
5150eqcomd 2784 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = if(∀𝑙𝐴 𝐶 = 1, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  wss 3831  ifcif 4351  {cpr 4444  cfv 6190  Fincfn 8308  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338  cuz 12061  cprod 15122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-prod 15123
This theorem is referenced by:  prodindf  30926
  Copyright terms: Public domain W3C validator