MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit 15103
Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fprodsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fprodsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit
StepHypRef Expression
1 iftrue 4313 . . . . 5 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
21prodeq2i 15056 . . . 4 𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝐴 𝐶
3 ssun1 3999 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
4 fprodsplit.2 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
53, 4syl5sseqr 3873 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
61adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
75sselda 3821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
8 fprodsplit.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
97, 8syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
106, 9eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11 eldifn 3956 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑈𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
1211iffalsed 4318 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑈𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
1312adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝐴)) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14 fprodsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
155, 10, 13, 14fprodss 15085 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1))
162, 15syl5eqr 2828 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1))
17 iftrue 4313 . . . . 5 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
1817prodeq2i 15056 . . . 4 𝑘𝐵 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝐵 𝐶
19 ssun2 4000 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
2019, 4syl5sseqr 3873 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑈)
2117adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
2220sselda 3821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
2322, 8syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2421, 23eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
25 eldifn 3956 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑈𝐵) → ¬ 𝑘𝐵)
2625iffalsed 4318 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑈𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
2726adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝐵)) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
2820, 24, 27, 14fprodss 15085 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐵 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
2918, 28syl5eqr 2828 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝐵 𝐶 = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
3016, 29oveq12d 6942 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶) = (∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))
31 ax-1cn 10332 . . . 4 1 ∈ ℂ
32 ifcl 4351 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
338, 31, 32sylancl 580 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
34 ifcl 4351 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
358, 31, 34sylancl 580 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
3614, 33, 35fprodmul 15097 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))
374eleq2d 2845 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
38 elun 3976 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3937, 38syl6bb 279 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4039biimpa 470 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
41 fprodsplit.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
42 disjel 4249 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4341, 42sylan 575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4443iffalsed 4318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
456, 44oveq12d 6942 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
469mulid1d 10396 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
4745, 46eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
4843ex 403 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4948con2d 132 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
5049imp 397 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
5150iffalsed 4318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
5251, 21oveq12d 6942 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
5323mulid2d 10397 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
5452, 53eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5547, 54jaodan 943 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5640, 55syldan 585 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5756prodeq2dv 15060 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘𝑈 𝐶)
5830, 36, 573eqtr2rd 2821 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  cdif 3789  cun 3790  cin 3791  c0 4141  ifcif 4307  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  cc 10272  1c1 10275   · cmul 10279  cprod 15042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-prod 15043
This theorem is referenced by:  fprodm1  15104  fprod1p  15105  fprodeq0  15112  fprod2dlem  15117  fprodsplitf  15125  fallfacval4  15180  fprodfvdvdsd  15466  prmdvdsprmo  16154  gausslemma2dlem4  25550  gausslemma2dlem6  25553  fprodeq02  30137  prodpr  30140  prodtp  30141  prodfzo03  31287
  Copyright terms: Public domain W3C validator