MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit 15912
Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit.1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)
fprodsplit.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))
fprodsplit.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)
fprodsplit.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ˆ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodsplit
StepHypRef Expression
1 iftrue 4534 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = ๐ถ)
21prodeq2i 15865 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ
3 ssun1 4172 . . . . . 6 ๐ด โŠ† (๐ด โˆช ๐ต)
4 fprodsplit.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))
53, 4sseqtrrid 4035 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘ˆ)
61adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = ๐ถ)
75sselda 3982 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ)
8 fprodsplit.4 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
97, 8syldan 591 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
106, 9eqeltrd 2833 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
11 eldifn 4127 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
1211iffalsed 4539 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = 1)
1312adantl 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ด)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = 1)
14 fprodsplit.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)
155, 10, 13, 14fprodss 15894 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
162, 15eqtr3id 2786 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
17 iftrue 4534 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐ต โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = ๐ถ)
1817prodeq2i 15865 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ
19 ssun2 4173 . . . . . 6 ๐ต โŠ† (๐ด โˆช ๐ต)
2019, 4sseqtrrid 4035 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐‘ˆ)
2117adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = ๐ถ)
2220sselda 3982 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ)
2322, 8syldan 591 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2421, 23eqeltrd 2833 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
25 eldifn 4127 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
2625iffalsed 4539 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ต) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = 1)
2726adantl 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ต)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = 1)
2820, 24, 27, 14fprodss 15894 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1))
2918, 28eqtr3id 2786 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1))
3016, 29oveq12d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)))
31 ax-1cn 11170 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
32 ifcl 4573 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
338, 31, 32sylancl 586 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
34 ifcl 4573 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
358, 31, 34sylancl 586 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
3614, 33, 35fprodmul 15906 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)))
374eleq2d 2819 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช ๐ต)))
38 elun 4148 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช ๐ต) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต))
3937, 38bitrdi 286 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)))
4039biimpa 477 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต))
41 fprodsplit.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)
42 disjel 4456 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ… โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
4341, 42sylan 580 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
4443iffalsed 4539 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = 1)
456, 44oveq12d 7429 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = (๐ถ ยท 1))
469mulridd 11233 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท 1) = ๐ถ)
4745, 46eqtrd 2772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = ๐ถ)
4843ex 413 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต))
4948con2d 134 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
5049imp 407 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
5150iffalsed 4539 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = 1)
5251, 21oveq12d 7429 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = (1 ยท ๐ถ))
5323mullidd 11234 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐ถ) = ๐ถ)
5452, 53eqtrd 2772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = ๐ถ)
5547, 54jaodan 956 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = ๐ถ)
5640, 55syldan 591 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = ๐ถ)
5756prodeq2dv 15869 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ)
5830, 36, 573eqtr2rd 2779 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947  โˆ…c0 4322  ifcif 4528  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117  โˆcprod 15851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852
This theorem is referenced by:  fprodm1  15913  fprod1p  15914  fprodeq0  15921  fprod2dlem  15926  fprodsplitf  15934  fallfacval4  15989  fprodfvdvdsd  16279  prmdvdsprmo  16977  gausslemma2dlem4  26879  gausslemma2dlem6  26882  fprodeq02  32067  prodpr  32070  prodtp  32071  prodfzo03  33684  prodsplit  41107
  Copyright terms: Public domain W3C validator