MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit 15299
Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fprodsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fprodsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit
StepHypRef Expression
1 iftrue 4446 . . . . 5 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
21prodeq2i 15252 . . . 4 𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝐴 𝐶
3 ssun1 4124 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
4 fprodsplit.2 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
53, 4sseqtrrid 3996 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
61adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
75sselda 3943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
8 fprodsplit.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
97, 8syldan 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
106, 9eqeltrd 2912 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11 eldifn 4080 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑈𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
1211iffalsed 4451 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑈𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
1312adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝐴)) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14 fprodsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
155, 10, 13, 14fprodss 15281 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1))
162, 15syl5eqr 2870 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1))
17 iftrue 4446 . . . . 5 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
1817prodeq2i 15252 . . . 4 𝑘𝐵 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝐵 𝐶
19 ssun2 4125 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
2019, 4sseqtrrid 3996 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑈)
2117adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
2220sselda 3943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
2322, 8syldan 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2421, 23eqeltrd 2912 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
25 eldifn 4080 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑈𝐵) → ¬ 𝑘𝐵)
2625iffalsed 4451 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑈𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
2726adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝐵)) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
2820, 24, 27, 14fprodss 15281 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐵 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
2918, 28syl5eqr 2870 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝐵 𝐶 = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
3016, 29oveq12d 7148 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶) = (∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))
31 ax-1cn 10572 . . . 4 1 ∈ ℂ
32 ifcl 4484 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
338, 31, 32sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
34 ifcl 4484 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
358, 31, 34sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
3614, 33, 35fprodmul 15293 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))
374eleq2d 2897 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
38 elun 4101 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3937, 38syl6bb 290 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4039biimpa 480 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
41 fprodsplit.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
42 disjel 4379 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4341, 42sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4443iffalsed 4451 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
456, 44oveq12d 7148 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
469mulid1d 10635 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
4745, 46eqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
4843ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4948con2d 136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
5049imp 410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
5150iffalsed 4451 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
5251, 21oveq12d 7148 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
5323mulid2d 10636 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
5452, 53eqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5547, 54jaodan 955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5640, 55syldan 594 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5756prodeq2dv 15256 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘𝑈 𝐶)
5830, 36, 573eqtr2rd 2863 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  c0 4266  ifcif 4440  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  cc 10512  1c1 10515   · cmul 10519  cprod 15238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-prod 15239
This theorem is referenced by:  fprodm1  15300  fprod1p  15301  fprodeq0  15308  fprod2dlem  15313  fprodsplitf  15321  fallfacval4  15376  fprodfvdvdsd  15662  prmdvdsprmo  16355  gausslemma2dlem4  25932  gausslemma2dlem6  25935  fprodeq02  30526  prodpr  30529  prodtp  30530  prodfzo03  31882  prodsplit  39226
  Copyright terms: Public domain W3C validator