Theorem fprodsplit 16046

Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4498	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
2	1	prodeq2i 15998	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
3		ssun1 4134	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
4		fprodsplit.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
5	3, 4	sseqtrrid 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
6	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
7	5	sselda 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
8		fprodsplit.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	6, 9	eqeltrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11		eldifn 4089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
12	11	iffalsed 4503	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14		fprodsplit.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
15	5, 10, 13, 14	fprodss 16028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
16	2, 15	eqtr3id 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1))
17		iftrue 4498	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
18	17	prodeq2i 15998	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
19		ssun2 4135	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
20	19, 4	sseqtrrid 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
21	17	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
22	20	sselda 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝑈)
23	22, 8	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	21, 23	eqeltrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
25		eldifn 4089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
26	25	iffalsed 4503	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
27	26	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∖ 𝐵)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
28	20, 24, 27, 14	fprodss 16028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
29	18, 28	eqtr3id 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
30	16, 29	oveq12d 7441	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
31		ax-1cn 11176	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		ifcl 4538	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
33	8, 31, 32	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
34		ifcl 4538	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
35	8, 31, 34	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
36	14, 33, 35	fprodmul 16040	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘 ∈ 𝑈 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))
37	4	eleq2d 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
38		elun 4110	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
39	37, 38	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
40	39	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
41		fprodsplit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
42		disjel 4420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
43	41, 42	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
44	43	iffalsed 4503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = 1)
45	6, 44	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
46	9	mulridd 11244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
47	45, 46	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
48	43	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
49	48	con2d 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
50	49	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
51	50	iffalsed 4503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) = 1)
52	51, 21	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
53	23	mullidd 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
54	52, 53	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
55	47, 54	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
56	40, 55	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
57	56	prodeq2dv 16002	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶)
58	30, 36, 57	3eqtr2rd 2808	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907  ∅c0 4289  ifcif 4492  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  ℂcc 11116  1c1 11119   · cmul 11123  ∏cprod 15983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15984

This theorem is used by:  fprodm1  16047  fprod1p  16048  fprodeq0  16055  fprod2dlem  16060  fprodsplitf  16068  fallfacval4  16122  fprodfvdvdsd  16417  prmdvdsprmo  17127  gausslemma2dlem4  27570  gausslemma2dlem6  27573  fprodeq02  33205  prodpr  33207  prodtp  33208  prodfzo03  35022