MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit 15856
Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit.1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)
fprodsplit.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))
fprodsplit.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)
fprodsplit.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ˆ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodsplit
StepHypRef Expression
1 iftrue 4497 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = ๐ถ)
21prodeq2i 15809 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ
3 ssun1 4137 . . . . . 6 ๐ด โŠ† (๐ด โˆช ๐ต)
4 fprodsplit.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))
53, 4sseqtrrid 4002 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘ˆ)
61adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = ๐ถ)
75sselda 3949 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ)
8 fprodsplit.4 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
97, 8syldan 592 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
106, 9eqeltrd 2838 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
11 eldifn 4092 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
1211iffalsed 4502 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = 1)
1312adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ด)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = 1)
14 fprodsplit.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)
155, 10, 13, 14fprodss 15838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
162, 15eqtr3id 2791 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
17 iftrue 4497 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐ต โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = ๐ถ)
1817prodeq2i 15809 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ
19 ssun2 4138 . . . . . 6 ๐ต โŠ† (๐ด โˆช ๐ต)
2019, 4sseqtrrid 4002 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐‘ˆ)
2117adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = ๐ถ)
2220sselda 3949 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ)
2322, 8syldan 592 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2421, 23eqeltrd 2838 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
25 eldifn 4092 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
2625iffalsed 4502 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ต) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = 1)
2726adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ˆ โˆ– ๐ต)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = 1)
2820, 24, 27, 14fprodss 15838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1))
2918, 28eqtr3id 2791 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1))
3016, 29oveq12d 7380 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)))
31 ax-1cn 11116 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
32 ifcl 4536 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
338, 31, 32sylancl 587 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
34 ifcl 4536 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
358, 31, 34sylancl 587 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) โˆˆ โ„‚)
3614, 33, 35fprodmul 15850 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)))
374eleq2d 2824 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช ๐ต)))
38 elun 4113 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช ๐ต) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต))
3937, 38bitrdi 287 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)))
4039biimpa 478 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต))
41 fprodsplit.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)
42 disjel 4421 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ… โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
4341, 42sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
4443iffalsed 4502 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1) = 1)
456, 44oveq12d 7380 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = (๐ถ ยท 1))
469mulid1d 11179 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท 1) = ๐ถ)
4745, 46eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = ๐ถ)
4843ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต))
4948con2d 134 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
5049imp 408 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
5150iffalsed 4502 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) = 1)
5251, 21oveq12d 7380 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = (1 ยท ๐ถ))
5323mulid2d 11180 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐ถ) = ๐ถ)
5452, 53eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = ๐ถ)
5547, 54jaodan 957 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = ๐ถ)
5640, 55syldan 592 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = ๐ถ)
5756prodeq2dv 15813 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ ๐ต, ๐ถ, 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ)
5830, 36, 573eqtr2rd 2784 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3912   โˆช cun 3913   โˆฉ cin 3914  โˆ…c0 4287  ifcif 4491  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  1c1 11059   ยท cmul 11063  โˆcprod 15795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796
This theorem is referenced by:  fprodm1  15857  fprod1p  15858  fprodeq0  15865  fprod2dlem  15870  fprodsplitf  15878  fallfacval4  15933  fprodfvdvdsd  16223  prmdvdsprmo  16921  gausslemma2dlem4  26733  gausslemma2dlem6  26736  fprodeq02  31761  prodpr  31764  prodtp  31765  prodfzo03  33256  prodsplit  40642
  Copyright terms: Public domain W3C validator