Theorem psr0lid 22270

Description: The zero element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psr0lid.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psr0lid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psr0lid	⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0lid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psr0lid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrgrp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		psr0cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8		psr0cl.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	1, 5, 6, 7, 8, 2	psr0cl 22269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
10		psr0lid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 9, 10	psradd 22255	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = ((𝐷 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)𝑋))
12		ovex 7457	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
13	7, 12	rabex2 5302	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	1, 15, 7, 2, 10	psrelbas 22252	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	8	fvexi 6904	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19	15, 3, 8	grplid 19187	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
20	6, 19	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
21	14, 16, 18, 20	caofid0l 7730	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
22	11, 21	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  {csn 4584   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8854  Fincfn 8980  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  0_gc0g 17619  Grpcgrp 19153   mPwSer cmps 22221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-tset 17456  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-psr 22226

This theorem is used by:  psr0  22274