MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr0lid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr0lid 19902
Description: The zero element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o 0 = (0g𝑅)
psr0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psr0lid.p + = (+g𝑆)
psr0lid.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psr0lid (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0lid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrgrp.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psr0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2773 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psr0lid.p . . 3 + = (+g𝑆)
5 psrgrp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
6 psrgrp.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7 psr0cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8 psr0cl.o . . . 4 0 = (0g𝑅)
91, 5, 6, 7, 8, 2psr0cl 19901 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
10 psr0lid.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
111, 2, 3, 4, 9, 10psradd 19889 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = ((𝐷 × { 0 }) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑋))
12 ovex 7007 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
137, 12rabex2 5090 . . . 4 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
15 eqid 2773 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
161, 15, 7, 2, 10psrelbas 19886 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
178fvexi 6511 . . . 4 0 ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
1915, 3, 8grplid 17934 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
206, 19sylan 572 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
2114, 16, 18, 20caofid0l 7254 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑋) = 𝑋)
2211, 21eqtrd 2809 1 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  {crab 3087  Vcvv 3410  {csn 4436   × cxp 5402  ccnv 5403  cima 5407  cfv 6186  (class class class)co 6975  𝑓 cof 7224  𝑚 cmap 8205  Fincfn 8305  cn 11438  0cn0 11706  Basecbs 16338  +gcplusg 16420  0gc0g 16568  Grpcgrp 17904   mPwSer cmps 19858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-tset 16439  df-0g 16570  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-grp 17907  df-psr 19863
This theorem is referenced by:  psrgrp  19905  psr0  19906
  Copyright terms: Public domain W3C validator