Theorem psr0lid 21514

Description: The zero element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psr0lid.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psr0lid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psr0lid	⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0lid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psr0lid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrgrp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		psr0cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8		psr0cl.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	1, 5, 6, 7, 8, 2	psr0cl 21513	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
10		psr0lid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 9, 10	psradd 21501	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = ((𝐷 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)𝑋))
12		ovex 7442	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
13	7, 12	rabex2 5335	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
15		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	1, 15, 7, 2, 10	psrelbas 21498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	8	fvexi 6906	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19	15, 3, 8	grplid 18852	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
20	6, 19	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
21	14, 16, 18, 20	caofid0l 7701	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
22	11, 21	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  {csn 4629   × cxp 5675  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819   mPwSer cmps 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-psr 21462

This theorem is referenced by:  psrgrpOLD  21518  psr0  21519