Theorem psr0cl 21944

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr0cl.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18935	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
5		fconst6g 6724	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
6	1, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
7		fvex 6848	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
8		psr0cl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		ovex 7394	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
10	8, 9	rabex2 5279	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
11	7, 10	elmap 8813	. . 3 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
12	6, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
13		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
14		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
15		psrgrp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	13, 2, 8, 14, 15	psrbas 21926	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
17	12, 16	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  {csn 4568   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903   mPwSer cmps 21897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-tset 17233  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-psr 21902

This theorem is referenced by:  psr0lid  21945  psr0  21949  mplsubglem  21990