Theorem psr0cl 21889

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr0cl.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18878	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
5		fconst6g 6712	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
6	1, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
7		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
8		psr0cl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		ovex 7379	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
10	8, 9	rabex2 5277	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
11	7, 10	elmap 8795	. . 3 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
12	6, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
13		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
14		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
15		psrgrp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	13, 2, 8, 14, 15	psrbas 21870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
17	12, 16	eleqtrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  {csn 4573   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846   mPwSer cmps 21841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-tset 17180  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-psr 21846

This theorem is referenced by:  psr0lid  21890  psrgrpOLD  21894  psr0  21895  mplsubglem  21936