Theorem psr0 22162

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
psr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr0	⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrgrp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrgrp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		psr0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psr0.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0cl 22157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑂}) ∈ (Base‘𝑆))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	psr0lid 22158	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑂})(+g‘𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}))
10	1, 2, 3	psrgrp 22161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
11		psr0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
12	6, 7, 11	grpid 19091	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐷 × {𝑂}) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐷 × {𝑂})(+g‘𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}) ↔ 0 = (𝐷 × {𝑂})))
13	10, 8, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 × {𝑂})(+g‘𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}) ↔ 0 = (𝐷 × {𝑂})))
14	9, 13	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  {csn 4591   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8950  ℕcn 12253  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17296  +_gcplusg 17337  0_gc0g 17519  Grpcgrp 19049   mPwSer cmps 22109

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-sup 9410  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-struct 17234  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-hom 17361  df-cco 17362  df-0g 17521  df-prds 17527  df-pws 17529  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-psr 22114

This theorem is used by:  psrneg  22163  mpl0  22210  psdmvr  22387  psrnzr  33971  psrgsum  34007  mplgsum  34012