Theorem psr0 21996

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
psr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr0	⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrgrp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrgrp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		psr0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psr0.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0cl 21990	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑂}) ∈ (Base‘𝑆))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	psr0lid 21991	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑂})(+g‘𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}))
10	1, 2, 3	psrgrp 21994	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
11		psr0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
12	6, 7, 11	grpid 19006	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐷 × {𝑂}) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐷 × {𝑂})(+g‘𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}) ↔ 0 = (𝐷 × {𝑂})))
13	10, 8, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 × {𝑂})(+g‘𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}) ↔ 0 = (𝐷 × {𝑂})))
14	9, 13	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐷 × {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  {csn 4631   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964   mPwSer cmps 21942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-psr 21947

This theorem is referenced by:  psrneg  21997  mpl0  22044