MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr0 20924
Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psr0.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0.o 𝑂 = (0g𝑅)
psr0.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psr0 (𝜑0 = (𝐷 × {𝑂}))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0
StepHypRef Expression
1 psrgrp.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrgrp.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrgrp.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4 psr0.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psr0.o . . 3 𝑂 = (0g𝑅)
6 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7 eqid 2737 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6psr0cl 20919 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × {𝑂}) ∈ (Base‘𝑆))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psr0lid 20920 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × {𝑂})(+g𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}))
101, 2, 3psrgrp 20923 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
11 psr0.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
126, 7, 11grpid 18403 . . 3 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐷 × {𝑂}) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐷 × {𝑂})(+g𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}) ↔ 0 = (𝐷 × {𝑂})))
1310, 8, 12syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (((𝐷 × {𝑂})(+g𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}) ↔ 0 = (𝐷 × {𝑂})))
149, 13mpbid 235 1 (𝜑0 = (𝐷 × {𝑂}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1543  wcel 2110  {crab 3065  {csn 4541   × cxp 5549  ccnv 5550  cima 5554  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  Fincfn 8626  cn 11830  0cn0 12090  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  0gc0g 16944  Grpcgrp 18365   mPwSer cmps 20863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-psr 20868
This theorem is referenced by:  psrneg  20925  mpl0  20968
  Copyright terms: Public domain W3C validator