Theorem psrbasfsupp 34193

Description: Rewrite a finite support for nonnegative integers : For functions mapping a set 𝐼 to the nonnegative integers, having finite support can also be written as having a finite preimage of the positive integers. The latter expression is used for example in psrbas 22251, but with the former expression, theorems about finite support can be used more directly. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbasfsupp.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0}

Assertion

Ref	Expression
psrbasfsupp	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psrbasfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbasfsupp.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0}
2		0nn0 12628	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		isfsupp 9364	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑓 supp 0) ∈ Fin)))
4	2, 3	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑓 supp 0) ∈ Fin)))
5		elmapfun 8895	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → Fun 𝑓)
6	5	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ((𝑓 supp 0) ∈ Fin ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑓 supp 0) ∈ Fin)))
7		dfn2 12626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
8	7	ineq2i 4113	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑓 ∩ ℕ) = (ran 𝑓 ∩ (ℕ0 ∖ {0}))
9		incom 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑓 ∩ ℕ) = (ℕ ∩ ran 𝑓)
10		indif2 4225	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑓 ∩ (ℕ0 ∖ {0})) = ((ran 𝑓 ∩ ℕ0) ∖ {0})
11	8, 9, 10	3eqtr3i 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ∩ ran 𝑓) = ((ran 𝑓 ∩ ℕ0) ∖ {0})
12		elmapi 8876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
13	12	frnd 6723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ran 𝑓 ⊆ ℕ0)
14		dfss2 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ ℕ0 ↔ (ran 𝑓 ∩ ℕ0) = ran 𝑓)
15	13, 14	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (ran 𝑓 ∩ ℕ0) = ran 𝑓)
16	15	difeq1d 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ((ran 𝑓 ∩ ℕ0) ∖ {0}) = (ran 𝑓 ∖ {0}))
17	11, 16	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (ℕ ∩ ran 𝑓) = (ran 𝑓 ∖ {0}))
18	17	imaeq2d 6054	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (◡𝑓 “ (ℕ ∩ ran 𝑓)) = (◡𝑓 “ (ran 𝑓 ∖ {0})))
19		fimacnvinrn 7076	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑓 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑓 “ (ℕ ∩ ran 𝑓)))
20	5, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑓 “ (ℕ ∩ ran 𝑓)))
21		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
22	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
23		supppreima 33335	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑓 supp 0) = (◡𝑓 “ (ran 𝑓 ∖ {0})))
24	5, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (𝑓 supp 0) = (◡𝑓 “ (ran 𝑓 ∖ {0})))
25	18, 20, 24	3eqtr4rd 2806	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (𝑓 supp 0) = (◡𝑓 “ ℕ))
26	25	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ((𝑓 supp 0) ∈ Fin ↔ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin))
27	4, 6, 26	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin))
28	27	rabbiia 3416	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
29	1, 28	eqtri 2783	1 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  {csn 4584   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   “ cima 5654  Fun wfun 6537  (class class class)co 7424   supp csupp 8183   ↑_m cmap 8854  Fincfn 8980   finSupp cfsupp 9360  0cc0 11207  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fsupp 9361  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-nn 12343  df-n0 12614

This theorem is used by:  0mplrim  34196  selvply1rhmlema  34200  selvply1rhmlemb  34201  selvply1rhmlem1  34202  selvply1rhmlem2  34203  selvply1rhmlem4  34205  selvply1rhm0  34208  extvfvvcl  34217  extvfvcl  34218  mplmulmvr  34221  evlextv  34224  mplvrpmfgalem  34226  mplvrpmga  34227  mplvrpmmhm  34228  mplvrpmrhm  34229  psrgsum  34230  psrmon  34231  psrmonmul  34232  psrmonmul2  34233  psrmonprod  34234  mplgsum  34235  mplmonprod  34236  issply  34243  esplyfval0  34246  esplyfval2  34247  esplympl  34249  esplymhp  34250  esplyfval3  34254  esplyfval1  34255  esplyfvaln  34256  esplyind  34257  vieta  34262