Theorem psrbasfsupp 34185

Description: Rewrite a finite support for nonnegative integers : For functions mapping a set 𝐼 to the nonnegative integers, having finite support can also be written as having a finite preimage of the positive integers. The latter expression is used for example in psrbas 22242, but with the former expression, theorems about finite support can be used more directly. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbasfsupp.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0}

Assertion

Ref	Expression
psrbasfsupp	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psrbasfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbasfsupp.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0}
2		0nn0 12621	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		isfsupp 9357	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑓 supp 0) ∈ Fin)))
4	2, 3	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑓 supp 0) ∈ Fin)))
5		elmapfun 8888	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → Fun 𝑓)
6	5	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ((𝑓 supp 0) ∈ Fin ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑓 supp 0) ∈ Fin)))
7		dfn2 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
8	7	ineq2i 4114	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑓 ∩ ℕ) = (ran 𝑓 ∩ (ℕ0 ∖ {0}))
9		incom 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑓 ∩ ℕ) = (ℕ ∩ ran 𝑓)
10		indif2 4226	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑓 ∩ (ℕ0 ∖ {0})) = ((ran 𝑓 ∩ ℕ0) ∖ {0})
11	8, 9, 10	3eqtr3i 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ∩ ran 𝑓) = ((ran 𝑓 ∩ ℕ0) ∖ {0})
12		elmapi 8869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
13	12	frnd 6718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ran 𝑓 ⊆ ℕ0)
14		dfss2 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ ℕ0 ↔ (ran 𝑓 ∩ ℕ0) = ran 𝑓)
15	13, 14	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (ran 𝑓 ∩ ℕ0) = ran 𝑓)
16	15	difeq1d 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ((ran 𝑓 ∩ ℕ0) ∖ {0}) = (ran 𝑓 ∖ {0}))
17	11, 16	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (ℕ ∩ ran 𝑓) = (ran 𝑓 ∖ {0}))
18	17	imaeq2d 6051	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (◡𝑓 “ (ℕ ∩ ran 𝑓)) = (◡𝑓 “ (ran 𝑓 ∖ {0})))
19		fimacnvinrn 7071	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑓 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑓 “ (ℕ ∩ ran 𝑓)))
20	5, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑓 “ (ℕ ∩ ran 𝑓)))
21		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
22	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
23		supppreima 33326	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑓 supp 0) = (◡𝑓 “ (ran 𝑓 ∖ {0})))
24	5, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (𝑓 supp 0) = (◡𝑓 “ (ran 𝑓 ∖ {0})))
25	18, 20, 24	3eqtr4rd 2806	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (𝑓 supp 0) = (◡𝑓 “ ℕ))
26	25	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ((𝑓 supp 0) ∈ Fin ↔ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin))
27	4, 6, 26	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin))
28	27	rabbiia 3416	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
29	1, 28	eqtri 2783	1 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  {csn 4583   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   “ cima 5653  Fun wfun 6532  (class class class)co 7420   supp csupp 8177   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fsupp 9354  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-nn 12336  df-n0 12607

This theorem is used by:  0mplrim  34188  selvply1rhmlema  34192  selvply1rhmlemb  34193  selvply1rhmlem1  34194  selvply1rhmlem2  34195  selvply1rhmlem4  34197  selvply1rhm0  34200  extvfvvcl  34209  extvfvcl  34210  mplmulmvr  34213  evlextv  34216  mplvrpmfgalem  34218  mplvrpmga  34219  mplvrpmmhm  34220  mplvrpmrhm  34221  psrgsum  34222  psrmon  34223  psrmonmul  34224  psrmonmul2  34225  psrmonprod  34226  mplgsum  34227  mplmonprod  34228  issply  34235  esplyfval0  34238  esplyfval2  34239  esplympl  34241  esplymhp  34242  esplyfval3  34246  esplyfval1  34247  esplyfvaln  34248  esplyind  34249  vieta  34254