Theorem pythagtriplem9 16836

Description: Lemma for pythagtrip 16846. Show that (√‘(𝐶 + 𝐵)) is a positive integer. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem9	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem pythagtriplem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem7 16834	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐵) gcd 𝐴))
2		nnz 12579	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
3		nnz 12579	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4		zaddcl 12601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	syl2anr 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
6	5	3adant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
7	6	3ad2ant1 1142	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
8		nnz 12579	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	3ad2ant1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1142	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		nnne0 12237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
12	11	neneqd 2956	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 = 0)
13	12	intnand 491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ((𝐶 + 𝐵) = 0 ∧ 𝐴 = 0))
14	13	3ad2ant1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ¬ ((𝐶 + 𝐵) = 0 ∧ 𝐴 = 0))
15	14	3ad2ant1 1142	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ¬ ((𝐶 + 𝐵) = 0 ∧ 𝐴 = 0))
16		gcdn0cl 16512	. . 3 ⊢ ((((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐶 + 𝐵) = 0 ∧ 𝐴 = 0)) → ((𝐶 + 𝐵) gcd 𝐴) ∈ ℕ)
17	7, 10, 15, 16	syl21anc 846	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐵) gcd 𝐴) ∈ ℕ)
18	1, 17	eqeltrd 2856	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶 + 𝐵)) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066  ℕcn 12200  2c2 12262  ℤcz 12558  ↑cexp 14064  √csqrt 15236   ∥ cdvds 16262   gcd cgcd 16504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-dvds 16263  df-gcd 16505  df-prm 16682

This theorem is referenced by:  pythagtriplem11  16837  pythagtriplem13  16839