MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtriplem8 16865
Description: Lemma for pythagtrip 16876. Show that (√‘(𝐶𝐵)) is a positive integer. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶𝐵)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem pythagtriplem8
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem6 16863 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶𝐵)) = ((𝐶𝐵) gcd 𝐴))
2 nnz 12656 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
3 nnz 12656 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4 zsubcl 12681 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶𝐵) ∈ ℤ)
52, 3, 4syl2anr 596 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶𝐵) ∈ ℤ)
653adant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶𝐵) ∈ ℤ)
7 nnz 12656 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
873ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9 nnne0 12323 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
109neneqd 2947 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 = 0)
1110intnand 488 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ((𝐶𝐵) = 0 ∧ 𝐴 = 0))
12113ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ¬ ((𝐶𝐵) = 0 ∧ 𝐴 = 0))
13 gcdn0cl 16542 . . . 4 ((((𝐶𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐶𝐵) = 0 ∧ 𝐴 = 0)) → ((𝐶𝐵) gcd 𝐴) ∈ ℕ)
146, 8, 12, 13syl21anc 837 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶𝐵) gcd 𝐴) ∈ ℕ)
15143ad2ant1 1133 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶𝐵) gcd 𝐴) ∈ ℕ)
161, 15eqeltrd 2838 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (√‘(𝐶𝐵)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103   class class class wbr 5169  cfv 6572  (class class class)co 7445  0cc0 11180  1c1 11181   + caddc 11183  cmin 11516  cn 12289  2c2 12344  cz 12635  cexp 14108  csqrt 15278  cdvds 16296   gcd cgcd 16534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fz 13564  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-dvds 16297  df-gcd 16535  df-prm 16713
This theorem is referenced by:  pythagtriplem11  16867  pythagtriplem13  16869
  Copyright terms: Public domain W3C validator