MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qdensere2 23904
Description: is dense in . (Contributed by NM, 24-Aug-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
qdensere2 ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere2
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2 tgioo.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
31, 2tgioo 23903 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
43fveq2i 6764 . . 3 (cls‘(topGen‘ran (,))) = (cls‘𝐽)
54fveq1i 6762 . 2 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ((cls‘𝐽)‘ℚ)
6 qdensere 23877 . 2 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
75, 6eqtr3i 2767 1 ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539   × cxp 5583  ran crn 5586  cres 5587  ccom 5589  cfv 6423  cr 10817  cmin 11151  cq 12633  (,)cioo 13024  abscabs 14889  topGenctg 17092  MetOpencmopn 20531  clsccl 22113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-er 8461  df-map 8580  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-sup 9147  df-inf 9148  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528  df-q 12634  df-rp 12676  df-xneg 12793  df-xadd 12794  df-xmul 12795  df-ioo 13028  df-seq 13666  df-exp 13727  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-topgen 17098  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-top 21987  df-bases 22040  df-cld 22114  df-ntr 22115  df-cls 22116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator