Theorem qdensere2 24800

Description: ℚ is dense in ℝ. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
qdensere2	⊢ ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2		tgioo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	1, 2	tgioo 24799	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4	3	fveq2i 6895	. . 3 ⊢ (cls‘(topGen‘ran (,))) = (cls‘𝐽)
5	4	fveq1i 6893	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ((cls‘𝐽)‘ℚ)
6		qdensere 24773	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
7	5, 6	eqtr3i 2756	1 ⊢ ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ

Syntax hints:   = wceq 1534   × cxp 5672  ran crn 5675   ↾ cres 5676   ∘ ccom 5678  ‘cfv 6545  ℝcr 11147   − cmin 11484  ℚcq 12977  (,)cioo 13371  abscabs 15233  topGenctg 17446  MetOpencmopn 21328  clsccl 23009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8848  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-sup 9477  df-inf 9478  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12518  df-z 12604  df-uz 12868  df-q 12978  df-rp 13022  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13375  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-topgen 17452  df-psmet 21330  df-xmet 21331  df-met 21332  df-bl 21333  df-mopn 21334  df-top 22883  df-bases 22936  df-cld 23010  df-ntr 23011  df-cls 23012

This theorem is referenced by: (None)