Theorem pellexlem3 43659

Description: Lemma for pellex 43663. To each good rational approximation of (√‘𝐷), there exists a near-solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem3	⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})

Distinct variable group:   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem pellexlem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12266	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1, 1	xpex 7755	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ V
3		opabssxp 5751	. . 3 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ)
4	2, 3	ssexi 5291	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ∈ V
5		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 𝑎 ∈ ℚ)
6		simprrl 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 0 < 𝑎)
7		qgt0numnn 16846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑎) → (numer‘𝑎) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (numer‘𝑎) ∈ ℕ)
9		qdencl 16836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (denom‘𝑎) ∈ ℕ)
10	5, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (denom‘𝑎) ∈ ℕ)
11	8, 10	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ))
12		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 𝐷 ∈ ℕ)
13		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
14		pellexlem1 43657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0)
15	12, 8, 10, 13, 14	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0)
16		simprrr 794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))
17		qeqnumdivden 16841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → 𝑎 = ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)))
18	17	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (𝑎 − (√‘𝐷)) = (((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷)))
19	18	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) = (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))))
20	19	breq1d 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → ((abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
21	5, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ((abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
22	16, 21	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))
23		pellexlem2 43658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
24	12, 8, 10, 22, 23	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
25	11, 15, 24	jca32 525	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
26	25	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
27		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑎))
28		fvoveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) = (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))))
29		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (denom‘𝑥) = (denom‘𝑎))
30	29	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((denom‘𝑥)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
31	28, 30	breq12d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
32	27, 31	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
33	32	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
34		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (numer‘𝑎) ∈ V
35		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (denom‘𝑎) ∈ V
36		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (numer‘𝑎) ∈ ℕ))
37	36	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ↔ ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)))
38		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (𝑦↑2) = ((numer‘𝑎)↑2))
39	38	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) = (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))))
40	39	neeq1d 3016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ↔ (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0))
41	39	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) = (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))))
42	41	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))
43	40, 42	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))) ↔ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
44	37, 43	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))) ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
45		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝑧 ∈ ℕ ↔ (denom‘𝑎) ∈ ℕ))
46	45	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ↔ ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ)))
47		oveq1 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝑧↑2) = ((denom‘𝑎)↑2))
48	47	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝐷 · (𝑧↑2)) = (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))
49	48	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) = (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))))
50	49	neeq1d 3016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ↔ (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0))
51	49	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) = (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))))
52	51	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))
53	50, 52	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))) ↔ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
54	46, 53	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))) ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
55	34, 35, 44, 54	opelopab 5525	. . . 4 ⊢ (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
56	26, 33, 55	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} → ⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}))
57		ssrab2 4031	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ⊆ ℚ
58		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})
59	57, 58	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑎 ∈ ℚ)
60		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})
61	57, 60	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑏 ∈ ℚ)
62	34, 35	opth 5456	. . . . . . 7 ⊢ (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏)))
63		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → (numer‘𝑎) = (numer‘𝑏))
64		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))
65	63, 64	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
66		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 ∈ ℚ)
67	66, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 = ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)))
68		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑏 ∈ ℚ)
69		qeqnumdivden 16841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℚ → 𝑏 = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑏 = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
71	65, 67, 70	3eqtr4d 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 = 𝑏)
72	71	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏)) → 𝑎 = 𝑏))
73	62, 72	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ → 𝑎 = 𝑏))
74		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (numer‘𝑎) = (numer‘𝑏))
75		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))
76	74, 75	opeq12d 4844	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩)
77	73, 76	impbid1 228	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏))
78	59, 61, 77	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏))
79	78	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))}) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏)))
80	56, 79	dom2d 9002	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ∈ V → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}))
81	4, 80	mpi 21	1 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  Vcvv 3453  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  {copab 5171   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ≼ cdom 8953  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  ℚcq 13000  ↑cexp 14127  √csqrt 15322  abscabs 15323  numercnumer 16828  denomcdenom 16829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-numer 16830  df-denom 16831

This theorem is used by:  pellexlem4  43660