Theorem pellexlem3 41140

Description: Lemma for pellex 41144. To each good rational approximation of (√‘𝐷), there exists a near-solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem3	⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})

Distinct variable group:   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem pellexlem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12159	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1, 1	xpex 7687	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ V
3		opabssxp 5724	. . 3 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ)
4	2, 3	ssexi 5279	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ∈ V
5		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 𝑎 ∈ ℚ)
6		simprrl 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 0 < 𝑎)
7		qgt0numnn 16626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑎) → (numer‘𝑎) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (numer‘𝑎) ∈ ℕ)
9		qdencl 16616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (denom‘𝑎) ∈ ℕ)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (denom‘𝑎) ∈ ℕ)
11	8, 10	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ))
12		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 𝐷 ∈ ℕ)
13		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
14		pellexlem1 41138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0)
15	12, 8, 10, 13, 14	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0)
16		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))
17		qeqnumdivden 16621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → 𝑎 = ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)))
18	17	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (𝑎 − (√‘𝐷)) = (((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷)))
19	18	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) = (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))))
20	19	breq1d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → ((abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ((abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
22	16, 21	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))
23		pellexlem2 41139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
24	12, 8, 10, 22, 23	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
25	11, 15, 24	jca32 516	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
26	25	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
27		breq2 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑎))
28		fvoveq1 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) = (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))))
29		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (denom‘𝑥) = (denom‘𝑎))
30	29	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((denom‘𝑥)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
31	28, 30	breq12d 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
32	27, 31	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
33	32	elrab 3645	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
34		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (numer‘𝑎) ∈ V
35		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (denom‘𝑎) ∈ V
36		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (numer‘𝑎) ∈ ℕ))
37	36	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ↔ ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)))
38		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (𝑦↑2) = ((numer‘𝑎)↑2))
39	38	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) = (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))))
40	39	neeq1d 3003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ↔ (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0))
41	39	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) = (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))))
42	41	breq1d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))
43	40, 42	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))) ↔ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
44	37, 43	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))) ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
45		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝑧 ∈ ℕ ↔ (denom‘𝑎) ∈ ℕ))
46	45	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ↔ ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ)))
47		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝑧↑2) = ((denom‘𝑎)↑2))
48	47	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝐷 · (𝑧↑2)) = (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))
49	48	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) = (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))))
50	49	neeq1d 3003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ↔ (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0))
51	49	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) = (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))))
52	51	breq1d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))
53	50, 52	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))) ↔ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
54	46, 53	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))) ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
55	34, 35, 44, 54	opelopab 5499	. . . 4 ⊢ (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
56	26, 33, 55	3imtr4g 295	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} → ⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}))
57		ssrab2 4037	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ⊆ ℚ
58		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})
59	57, 58	sselid 3942	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑎 ∈ ℚ)
60		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})
61	57, 60	sselid 3942	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑏 ∈ ℚ)
62	34, 35	opth 5433	. . . . . . 7 ⊢ (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏)))
63		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → (numer‘𝑎) = (numer‘𝑏))
64		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))
65	63, 64	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
66		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 ∈ ℚ)
67	66, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 = ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)))
68		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑏 ∈ ℚ)
69		qeqnumdivden 16621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℚ → 𝑏 = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑏 = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
71	65, 67, 70	3eqtr4d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 = 𝑏)
72	71	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏)) → 𝑎 = 𝑏))
73	62, 72	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ → 𝑎 = 𝑏))
74		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (numer‘𝑎) = (numer‘𝑏))
75		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))
76	74, 75	opeq12d 4838	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩)
77	73, 76	impbid1 224	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏))
78	59, 61, 77	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏))
79	78	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))}) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏)))
80	56, 79	dom2d 8933	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ∈ V → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}))
81	4, 80	mpi 20	1 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105  {copab 5167   × cxp 5631  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ≼ cdom 8881  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℚcq 12873  ↑cexp 13967  √csqrt 15118  abscabs 15119  numercnumer 16608  denomcdenom 16609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611

This theorem is referenced by:  pellexlem4  41141