Theorem pellexlem3 42787

Description: Lemma for pellex 42791. To each good rational approximation of (√‘𝐷), there exists a near-solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem3	⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})

Distinct variable group:   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem pellexlem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12299	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1, 1	xpex 7788	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ V
3		opabssxp 5792	. . 3 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ)
4	2, 3	ssexi 5340	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ∈ V
5		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 𝑎 ∈ ℚ)
6		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 0 < 𝑎)
7		qgt0numnn 16798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑎) → (numer‘𝑎) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (numer‘𝑎) ∈ ℕ)
9		qdencl 16788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (denom‘𝑎) ∈ ℕ)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (denom‘𝑎) ∈ ℕ)
11	8, 10	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ))
12		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → 𝐷 ∈ ℕ)
13		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
14		pellexlem1 42785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0)
15	12, 8, 10, 13, 14	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0)
16		simprrr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))
17		qeqnumdivden 16793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → 𝑎 = ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)))
18	17	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (𝑎 − (√‘𝐷)) = (((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷)))
19	18	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) = (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))))
20	19	breq1d 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → ((abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → ((abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
22	16, 21	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))
23		pellexlem2 42786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ (abs‘(((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
24	12, 8, 10, 22, 23	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))
25	11, 15, 24	jca32 515	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
27		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑎))
28		fvoveq1 7471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) = (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))))
29		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (denom‘𝑥) = (denom‘𝑎))
30	29	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((denom‘𝑥)↑-2) = ((denom‘𝑎)↑-2))
31	28, 30	breq12d 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2) ↔ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2)))
32	27, 31	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2)) ↔ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
33	32	elrab 3708	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (0 < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑎 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑎)↑-2))))
34		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (numer‘𝑎) ∈ V
35		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (denom‘𝑎) ∈ V
36		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (numer‘𝑎) ∈ ℕ))
37	36	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ↔ ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)))
38		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (𝑦↑2) = ((numer‘𝑎)↑2))
39	38	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) = (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))))
40	39	neeq1d 3006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ↔ (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0))
41	39	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) = (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))))
42	41	breq1d 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))
43	40, 42	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → ((((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))) ↔ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
44	37, 43	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (numer‘𝑎) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))) ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
45		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝑧 ∈ ℕ ↔ (denom‘𝑎) ∈ ℕ))
46	45	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ↔ ((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ)))
47		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝑧↑2) = ((denom‘𝑎)↑2))
48	47	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (𝐷 · (𝑧↑2)) = (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))
49	48	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) = (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))))
50	49	neeq1d 3006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ↔ (((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0))
51	49	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) = (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))))
52	51	breq1d 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))) ↔ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))
53	50, 52	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → (((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))) ↔ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
54	46, 53	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (denom‘𝑎) → ((((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))) ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))))
55	34, 35, 44, 54	opelopab 5561	. . . 4 ⊢ (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ↔ (((numer‘𝑎) ∈ ℕ ∧ (denom‘𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘(((numer‘𝑎)↑2) − (𝐷 · ((denom‘𝑎)↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷))))))
56	26, 33, 55	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} → ⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}))
57		ssrab2 4103	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ⊆ ℚ
58		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})
59	57, 58	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑎 ∈ ℚ)
60		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})
61	57, 60	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → 𝑏 ∈ ℚ)
62	34, 35	opth 5496	. . . . . . 7 ⊢ (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏)))
63		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → (numer‘𝑎) = (numer‘𝑏))
64		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))
65	63, 64	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)) = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
66		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 ∈ ℚ)
67	66, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 = ((numer‘𝑎) / (denom‘𝑎)))
68		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑏 ∈ ℚ)
69		qeqnumdivden 16793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℚ → 𝑏 = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑏 = ((numer‘𝑏) / (denom‘𝑏)))
71	65, 67, 70	3eqtr4d 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) ∧ ((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))) → 𝑎 = 𝑏)
72	71	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (((numer‘𝑎) = (numer‘𝑏) ∧ (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏)) → 𝑎 = 𝑏))
73	62, 72	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ → 𝑎 = 𝑏))
74		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (numer‘𝑎) = (numer‘𝑏))
75		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (denom‘𝑎) = (denom‘𝑏))
76	74, 75	opeq12d 4905	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩)
77	73, 76	impbid1 225	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏))
78	59, 61, 77	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) ∧ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))})) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏))
79	78	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ∧ 𝑏 ∈ {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))}) → (⟨(numer‘𝑎), (denom‘𝑎)⟩ = ⟨(numer‘𝑏), (denom‘𝑏)⟩ ↔ 𝑎 = 𝑏)))
80	56, 79	dom2d 9053	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ∈ V → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}))
81	4, 80	mpi 20	1 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑥 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑥)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  {copab 5228   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ≼ cdom 9001  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℚcq 13013  ↑cexp 14112  √csqrt 15282  abscabs 15283  numercnumer 16780  denomcdenom 16781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-numer 16782  df-denom 16783

This theorem is referenced by:  pellexlem4  42788