Theorem rng1nfld 20681

Description: The zero ring is not a field. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rng1nfld.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
rng1nfld	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ Field)

Proof of Theorem rng1nfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng1nfld.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
2	1	rng1nnzr 20677	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)
3		df-nel 3044	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
4	2, 3	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
5		drngnzr 20658	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ DivRing → 𝑀 ∈ NzRing)
6	4, 5	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ DivRing)
7		isfld 20649	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Field ↔ (𝑀 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ CRing))
8	7	simplbi 496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Field → 𝑀 ∈ DivRing)
9	6, 8	nsyl 140	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ Field)
10		df-nel 3044	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ Field ↔ ¬ 𝑀 ∈ Field)
11	9, 10	sylibr 233	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ Field)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3043  {csn 4632  {ctp 4636  ⟨cop 4638  ‘cfv 6553  ndxcnx 17171  Basecbs 17189  +_gcplusg 17242  ._rcmulr 17243  CRingccrg 20188  NzRingcnzr 20465  DivRingcdr 20638  Fieldcfield 20639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-nzr 20466  df-drng 20640  df-field 20641

This theorem is referenced by: (None)