MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng1nfld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rng1nfld 20764
Description: The zero ring is not a field. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rng1nfld.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
Assertion
Ref Expression
rng1nfld (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 βˆ‰ Field)

Proof of Theorem rng1nfld
StepHypRef Expression
1 rng1nfld.m . . . . . 6 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
21rng1nnzr 20760 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 βˆ‰ NzRing)
3 df-nel 3047 . . . . 5 (𝑀 βˆ‰ NzRing ↔ Β¬ 𝑀 ∈ NzRing)
42, 3sylib 217 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ NzRing)
5 drngnzr 20748 . . . 4 (𝑀 ∈ DivRing β†’ 𝑀 ∈ NzRing)
64, 5nsyl 140 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ DivRing)
7 isfld 20208 . . . 4 (𝑀 ∈ Field ↔ (𝑀 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ CRing))
8 simpl 484 . . . . 5 ((𝑀 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ CRing) β†’ 𝑀 ∈ DivRing)
98a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ CRing) β†’ 𝑀 ∈ DivRing))
107, 9biimtrid 241 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ Field β†’ 𝑀 ∈ DivRing))
116, 10mtod 197 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ Field)
12 df-nel 3047 . 2 (𝑀 βˆ‰ Field ↔ Β¬ 𝑀 ∈ Field)
1311, 12sylibr 233 1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 βˆ‰ Field)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3046  {csn 4587  {ctp 4591  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  CRingccrg 19970  DivRingcdr 20197  Fieldcfield 20198  NzRingcnzr 20743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-drng 20199  df-field 20200  df-nzr 20744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator