Theorem rng1nfld 21087

Description: The zero ring is not a field. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rng1nfld.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
rng1nfld	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ Field)

Proof of Theorem rng1nfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng1nfld.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
2	1	rng1nnzr 21084	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)
3		df-nel 3066	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
4	2, 3	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
5		drngnzr 21053	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ DivRing → 𝑀 ∈ NzRing)
6	4, 5	nsyl 141	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ DivRing)
7		isfld 21044	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Field ↔ (𝑀 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ CRing))
8	7	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Field → 𝑀 ∈ DivRing)
9	6, 8	nsyl 141	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ Field)
10		df-nel 3066	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ Field ↔ ¬ 𝑀 ∈ Field)
11	9, 10	sylibr 237	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ Field)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  {csn 4588  {ctp 4592  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  CRingccrg 20511  NzRingcnzr 20813  DivRingcdr 21031  Fieldcfield 21032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-nzr 20814  df-drng 21033  df-field 21034

This theorem is used by: (None)