MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng1nfld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rng1nfld 19489
Description: The zero ring is not a field. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rng1nfld.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
rng1nfld (𝑍𝑉𝑀 ∉ Field)

Proof of Theorem rng1nfld
StepHypRef Expression
1 rng1nfld.m . . . . . 6 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
21rng1nnzr 19485 . . . . 5 (𝑍𝑉𝑀 ∉ NzRing)
3 df-nel 3047 . . . . 5 (𝑀 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
42, 3sylib 208 . . . 4 (𝑍𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
5 drngnzr 19473 . . . 4 (𝑀 ∈ DivRing → 𝑀 ∈ NzRing)
64, 5nsyl 137 . . 3 (𝑍𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ DivRing)
7 isfld 18962 . . . 4 (𝑀 ∈ Field ↔ (𝑀 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ CRing))
8 simpl 468 . . . . 5 ((𝑀 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ DivRing)
98a1i 11 . . . 4 (𝑍𝑉 → ((𝑀 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ DivRing))
107, 9syl5bi 232 . . 3 (𝑍𝑉 → (𝑀 ∈ Field → 𝑀 ∈ DivRing))
116, 10mtod 189 . 2 (𝑍𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ Field)
12 df-nel 3047 . 2 (𝑀 ∉ Field ↔ ¬ 𝑀 ∈ Field)
1311, 12sylibr 224 1 (𝑍𝑉𝑀 ∉ Field)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wnel 3046  {csn 4316  {ctp 4320  cop 4322  cfv 6029  ndxcnx 16057  Basecbs 16060  +gcplusg 16145  .rcmulr 16146  CRingccrg 18752  DivRingcdr 18953  Fieldcfield 18954  NzRingcnzr 19468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12530  df-hash 13318  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-0g 16306  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-grp 17629  df-minusg 17630  df-mgp 18694  df-ur 18706  df-ring 18753  df-oppr 18827  df-dvdsr 18845  df-unit 18846  df-drng 18955  df-field 18956  df-nzr 19469
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator