Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumc 34032
Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumc.0 𝑘𝐷
esumc.1 𝑘𝜑
esumc.2 𝑘𝐴
esumc.3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
esumc.4 (𝜑𝐴𝑉)
esumc.5 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
esumc.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumc.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
esumc (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem esumc
StepHypRef Expression
1 esumc.1 . . 3 𝑘𝜑
2 esumc.0 . . 3 𝑘𝐷
3 nfcv 2903 . . 3 𝑦𝐵
4 nfre1 3283 . . . 4 𝑘𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶
54nfab 2909 . . 3 𝑘{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
6 esumc.2 . . 3 𝑘𝐴
7 nfmpt1 5256 . . 3 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
8 esumc.3 . . 3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
9 esumc.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
10 elex 3499 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
126, 11abrexexd 32537 . . 3 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ∈ V)
13 esumc.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
1413ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶𝑊))
151, 14ralrimi 3255 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶𝑊)
166fnmptf 6705 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐶𝑊 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
18 esumc.5 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
19 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
2019rnmpt 5971 . . . . 5 ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
22 dff1o2 6854 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ((𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴 ∧ Fun (𝑘𝐴𝐶) ∧ ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}))
2317, 18, 21, 22syl3anbrc 1342 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
24 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
256fvmpt2f 7017 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑊) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2624, 13, 25syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
27 vex 3482 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
28 eqeq1 2739 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐶𝑦 = 𝐶))
2928rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶))
3027, 29elab 3681 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶)
318reximi 3082 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶 → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
3230, 31sylbi 217 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
33 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑘(0[,]+∞)
342, 33nfel 2918 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
35 esumc.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
36 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵 → (𝐷 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
3735, 36syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
3837ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴 → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
391, 34, 38rexlimd 3264 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
4039imp 406 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
4132, 40sylan2 593 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
421, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 23, 26, 41esumf1o 34031 . 2 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342eqcomd 2741 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  {cab 2712  wnfc 2888  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cmpt 5231  ccnv 5688  ran crn 5690  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  [,]cicc 13387  Σ*cesum 34008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-xrs 17549  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151  df-esum 34009
This theorem is referenced by:  esumrnmpt  34033  esum2dlem  34073  measvunilem  34193  omssubadd  34282
  Copyright terms: Public domain W3C validator