Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumc 31209
Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumc.0 𝑘𝐷
esumc.1 𝑘𝜑
esumc.2 𝑘𝐴
esumc.3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
esumc.4 (𝜑𝐴𝑉)
esumc.5 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
esumc.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumc.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
esumc (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem esumc
StepHypRef Expression
1 esumc.1 . . 3 𝑘𝜑
2 esumc.0 . . 3 𝑘𝐷
3 nfcv 2974 . . 3 𝑦𝐵
4 nfre1 3303 . . . 4 𝑘𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶
54nfab 2981 . . 3 𝑘{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
6 esumc.2 . . 3 𝑘𝐴
7 nfmpt1 5155 . . 3 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
8 esumc.3 . . 3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
9 esumc.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
10 elex 3510 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
126, 11abrexexd 30196 . . 3 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ∈ V)
13 esumc.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
1413ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶𝑊))
151, 14ralrimi 3213 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶𝑊)
166fnmptf 6477 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐶𝑊 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
18 esumc.5 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
19 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
2019rnmpt 5820 . . . . 5 ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
22 dff1o2 6613 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ((𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴 ∧ Fun (𝑘𝐴𝐶) ∧ ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}))
2317, 18, 21, 22syl3anbrc 1335 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
24 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
256fvmpt2f 6762 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑊) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2624, 13, 25syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
27 vex 3495 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
28 eqeq1 2822 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐶𝑦 = 𝐶))
2928rexbidv 3294 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶))
3027, 29elab 3664 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶)
318reximi 3240 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶 → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
3230, 31sylbi 218 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
33 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑘(0[,]+∞)
342, 33nfel 2989 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
35 esumc.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
36 eleq1 2897 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵 → (𝐷 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
3735, 36syl5ibrcom 248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
3837ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴 → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
391, 34, 38rexlimd 3314 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
4039imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
4132, 40sylan2 592 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
421, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 23, 26, 41esumf1o 31208 . 2 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342eqcomd 2824 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  {cab 2796  wnfc 2958  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cmpt 5137  ccnv 5547  ran crn 5549  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  [,]cicc 12729  Σ*cesum 31185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-ordt 16762  df-xrs 16763  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-nei 21634  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-tsms 22662  df-esum 31186
This theorem is referenced by:  esumrnmpt  31210  esum2dlem  31250  measvunilem  31370  omssubadd  31457
  Copyright terms: Public domain W3C validator