Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumc 34052
Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumc.0 𝑘𝐷
esumc.1 𝑘𝜑
esumc.2 𝑘𝐴
esumc.3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
esumc.4 (𝜑𝐴𝑉)
esumc.5 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
esumc.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumc.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
esumc (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem esumc
StepHypRef Expression
1 esumc.1 . . 3 𝑘𝜑
2 esumc.0 . . 3 𝑘𝐷
3 nfcv 2905 . . 3 𝑦𝐵
4 nfre1 3285 . . . 4 𝑘𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶
54nfab 2911 . . 3 𝑘{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
6 esumc.2 . . 3 𝑘𝐴
7 nfmpt1 5250 . . 3 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
8 esumc.3 . . 3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
9 esumc.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
10 elex 3501 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
126, 11abrexexd 32528 . . 3 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ∈ V)
13 esumc.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
1413ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶𝑊))
151, 14ralrimi 3257 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶𝑊)
166fnmptf 6704 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐶𝑊 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
18 esumc.5 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
19 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
2019rnmpt 5968 . . . . 5 ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
22 dff1o2 6853 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ((𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴 ∧ Fun (𝑘𝐴𝐶) ∧ ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}))
2317, 18, 21, 22syl3anbrc 1344 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
24 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
256fvmpt2f 7017 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑊) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2624, 13, 25syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
27 vex 3484 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
28 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐶𝑦 = 𝐶))
2928rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶))
3027, 29elab 3679 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶)
318reximi 3084 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶 → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
3230, 31sylbi 217 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
33 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘(0[,]+∞)
342, 33nfel 2920 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
35 esumc.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
36 eleq1 2829 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵 → (𝐷 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
3735, 36syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
3837ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴 → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
391, 34, 38rexlimd 3266 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
4039imp 406 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
4132, 40sylan2 593 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
421, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 23, 26, 41esumf1o 34051 . 2 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342eqcomd 2743 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  {cab 2714  wnfc 2890  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cmpt 5225  ccnv 5684  ran crn 5686  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  [,]cicc 13390  Σ*cesum 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135  df-esum 34029
This theorem is referenced by:  esumrnmpt  34053  esum2dlem  34093  measvunilem  34213  omssubadd  34302
  Copyright terms: Public domain W3C validator