Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumc 30438
Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumc.0 𝑘𝐷
esumc.1 𝑘𝜑
esumc.2 𝑘𝐴
esumc.3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
esumc.4 (𝜑𝐴𝑉)
esumc.5 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
esumc.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumc.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
esumc (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑘,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem esumc
StepHypRef Expression
1 esumc.1 . . 3 𝑘𝜑
2 esumc.0 . . 3 𝑘𝐷
3 nfcv 2948 . . 3 𝑦𝐵
4 nfre1 3192 . . . 4 𝑘𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶
54nfab 2953 . . 3 𝑘{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
6 esumc.2 . . 3 𝑘𝐴
7 nfmpt1 4941 . . 3 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
8 esumc.3 . . 3 (𝑦 = 𝐶𝐷 = 𝐵)
9 esumc.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
10 elex 3406 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
126, 11abrexexd 29672 . . 3 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ∈ V)
13 esumc.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶𝑊)
1413ex 399 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶𝑊))
151, 14ralrimi 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶𝑊)
166fnmptf 6227 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐶𝑊 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴)
18 esumc.5 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐶))
19 eqid 2806 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
2019rnmpt 5572 . . . . 5 ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
22 dff1o2 6358 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ((𝑘𝐴𝐶) Fn 𝐴 ∧ Fun (𝑘𝐴𝐶) ∧ ran (𝑘𝐴𝐶) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}))
2317, 18, 21, 22syl3anbrc 1436 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴1-1-onto→{𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶})
24 simpr 473 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
256fvmpt2f 6504 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑊) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2624, 13, 25syl2anc 575 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
27 vex 3394 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
28 eqeq1 2810 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐶𝑦 = 𝐶))
2928rexbidv 3240 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶))
3027, 29elab 3545 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} ↔ ∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶)
318reximi 3198 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 𝑦 = 𝐶 → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
3230, 31sylbi 208 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶} → ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵)
33 nfcv 2948 . . . . . . 7 𝑘(0[,]+∞)
342, 33nfel 2961 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
35 esumc.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
36 eleq1 2873 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵 → (𝐷 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
3735, 36syl5ibrcom 238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
3837ex 399 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴 → (𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
391, 34, 38rexlimd 3214 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
4039imp 395 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
4132, 40sylan2 582 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
421, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 23, 26, 41esumf1o 30437 . 2 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342eqcomd 2812 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐶}𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wnf 1863  wcel 2156  {cab 2792  wnfc 2935  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cmpt 4923  ccnv 5310  ran crn 5312  Fun wfun 6095   Fn wfn 6096  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6874  0cc0 10221  +∞cpnf 10356  [,]cicc 12396  Σ*cesum 30414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-oi 8654  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-xadd 12163  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-hash 13338  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-ordt 16366  df-xrs 16367  df-ps 17405  df-tsr 17406  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-ntr 21038  df-nei 21116  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-tsms 22143  df-esum 30415
This theorem is referenced by:  esumrnmpt  30439  esum2dlem  30479  measvunilem  30600  omssubadd  30687
  Copyright terms: Public domain W3C validator