MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspd 21693
Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
ellspd.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
ellspd.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
ellspd.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
ellspd.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
ellspd.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
ellspd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
ellspd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ellspd (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   Β· ,𝑓   πœ‘,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
2 ffn 6710 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3 fnima 6673 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐼 β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) = ran 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) = ran 𝐹)
54fveq2d 6888 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (π‘β€˜ran 𝐹))
6 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))
76rnmpt 5947 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))}
8 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))
10 ellspd.v . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
11 ellspd.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
12 ellspd.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
13 ellspd.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
14 ellspd.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
1514a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€))
16 ellspd.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 21691 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = (π‘β€˜ran 𝐹))
187, 17eqtr3id 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} = (π‘β€˜ran 𝐹))
195, 18eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))})
2019eleq2d 2813 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))}))
21 ovex 7437 . . . . . 6 (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ∈ V
22 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ∈ V))
2321, 22mpbiri 258 . . . . 5 (𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
2423rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
25 eqeq1 2730 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
2625rexbidv 3172 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
2724, 26elab3 3671 . . 3 (𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))
2814fvexi 6898 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
29 ellspd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
30 ellspd.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘†)
31 eqid 2726 . . . . . . . 8 {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }
328, 29, 30, 31frlmbas 21646 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3328, 13, 32sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3433eqcomd 2732 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 })
3534rexeqdv 3320 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
36 breq1 5144 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑓 β†’ (π‘Ž finSupp 0 ↔ 𝑓 finSupp 0 ))
3736rexrab 3687 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
3835, 37bitrdi 287 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
3927, 38bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
4020, 39bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8819   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392   Ξ£g cgsu 17393  LModclmod 20704  LSpanclspn 20816   freeLMod cfrlm 21637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-nzr 20413  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lmhm 20868  df-lbs 20921  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-uvc 21674
This theorem is referenced by:  elfilspd  21694  islindf4  21729  ellspds  32987  ply1degltdimlem  33225  fedgmul  33234
  Copyright terms: Public domain W3C validator