MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspd 20508
Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z 0 = (0g𝑆)
ellspd.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspd.f (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
ellspd.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i (𝜑𝐼 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
ellspd (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝑁   𝑓,𝐾   𝑆,𝑓   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
2 ffn 6278 . . . . . 6 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
3 fnima 6243 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐼 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
54fveq2d 6437 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = (𝑁‘ran 𝐹))
6 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))
76rnmpt 5604 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))}
8 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
10 ellspd.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
11 ellspd.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑀)
12 ellspd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
13 ellspd.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
14 ellspd.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (Scalar‘𝑀))
16 ellspd.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 20506 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = (𝑁‘ran 𝐹))
187, 17syl5eqr 2875 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} = (𝑁‘ran 𝐹))
195, 18eqtr4d 2864 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))})
2019eleq2d 2892 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))}))
21 ovex 6937 . . . . . 6 (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ∈ V
22 eleq1 2894 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ∈ V))
2321, 22mpbiri 250 . . . . 5 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
2423rexlimivw 3238 . . . 4 (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
25 eqeq1 2829 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
2625rexbidv 3262 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
2724, 26elab3 3579 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))
2814fvexi 6447 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
29 ellspd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑆)
30 ellspd.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
31 eqid 2825 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }
328, 29, 30, 31frlmbas 20462 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3328, 13, 32sylancr 583 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3433eqcomd 2831 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
3534rexeqdv 3357 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
36 breq1 4876 . . . . 5 (𝑎 = 𝑓 → (𝑎 finSupp 0𝑓 finSupp 0 ))
3736rexrab 3593 . . . 4 (∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
3835, 37syl6bb 279 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
3927, 38syl5bb 275 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
4020, 39bitrd 271 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  {cab 2811  wrex 3118  {crab 3121  Vcvv 3414   class class class wbr 4873  cmpt 4952  ran crn 5343  cima 5345   Fn wfn 6118  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  𝑓 cof 7155  𝑚 cmap 8122   finSupp cfsupp 8544  Basecbs 16222  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453   Σg cgsu 16454  LModclmod 19219  LSpanclspn 19330   freeLMod cfrlm 20453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lmhm 19381  df-lbs 19434  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-nzr 19619  df-dsmm 20439  df-frlm 20454  df-uvc 20489
This theorem is referenced by:  elfilspd  20509  islindf4  20544
  Copyright terms: Public domain W3C validator