MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspd 21224
Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
ellspd.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
ellspd.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
ellspd.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
ellspd.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
ellspd.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
ellspd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
ellspd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ellspd (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   Β· ,𝑓   πœ‘,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
2 ffn 6669 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3 fnima 6632 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐼 β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) = ran 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) = ran 𝐹)
54fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (π‘β€˜ran 𝐹))
6 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))
76rnmpt 5911 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))}
8 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))
10 ellspd.v . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
11 ellspd.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
12 ellspd.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
13 ellspd.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
14 ellspd.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
1514a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€))
16 ellspd.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 21222 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = (π‘β€˜ran 𝐹))
187, 17eqtr3id 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} = (π‘β€˜ran 𝐹))
195, 18eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))})
2019eleq2d 2820 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))}))
21 ovex 7391 . . . . . 6 (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ∈ V
22 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ∈ V))
2321, 22mpbiri 258 . . . . 5 (𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
2423rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
25 eqeq1 2737 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
2625rexbidv 3172 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
2724, 26elab3 3639 . . 3 (𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))
2814fvexi 6857 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
29 ellspd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
30 ellspd.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘†)
31 eqid 2733 . . . . . . . 8 {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }
328, 29, 30, 31frlmbas 21177 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3328, 13, 32sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3433eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 })
3534rexeqdv 3313 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
36 breq1 5109 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑓 β†’ (π‘Ž finSupp 0 ↔ 𝑓 finSupp 0 ))
3736rexrab 3655 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
3835, 37bitrdi 287 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
3927, 38bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
4020, 39bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   ↑m cmap 8768   finSupp cfsupp 9308  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  LModclmod 20336  LSpanclspn 20447   freeLMod cfrlm 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498  df-lbs 20551  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205
This theorem is referenced by:  elfilspd  21225  islindf4  21260  ellspds  32204  ply1degltdimlem  32374  fedgmul  32383
  Copyright terms: Public domain W3C validator