MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspd 20494
Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z 0 = (0g𝑆)
ellspd.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspd.f (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
ellspd.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i (𝜑𝐼𝑉)
Assertion
Ref Expression
ellspd (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
2 ffn 6491 . . . . . 6 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
3 fnima 6454 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐼 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
54fveq2d 6653 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = (𝑁‘ran 𝐹))
6 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))
76rnmpt 5795 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))}
8 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
10 ellspd.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
11 ellspd.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑀)
12 ellspd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
13 ellspd.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
14 ellspd.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (Scalar‘𝑀))
16 ellspd.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 20492 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))) = (𝑁‘ran 𝐹))
187, 17syl5eqr 2850 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))} = (𝑁‘ran 𝐹))
195, 18eqtr4d 2839 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))})
2019eleq2d 2878 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))}))
21 ovex 7172 . . . . . 6 (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ∈ V
22 eleq1 2880 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) → (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ∈ V))
2321, 22mpbiri 261 . . . . 5 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
2423rexlimivw 3244 . . . 4 (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
25 eqeq1 2805 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))))
2625rexbidv 3259 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))))
2724, 26elab3 3625 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))
2814fvexi 6663 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
29 ellspd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑆)
30 ellspd.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
31 eqid 2801 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }
328, 29, 30, 31frlmbas 20447 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3328, 13, 32sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3433eqcomd 2807 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
3534rexeqdv 3368 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))))
36 breq1 5036 . . . . 5 (𝑎 = 𝑓 → (𝑎 finSupp 0𝑓 finSupp 0 ))
3736rexrab 3638 . . . 4 (∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))))
3835, 37syl6bb 290 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))))
3927, 38syl5bb 286 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))))
4020, 39bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ran crn 5524  cima 5526   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  f cof 7391  m cmap 8393   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  LModclmod 19630  LSpanclspn 19739   freeLMod cfrlm 20438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lmhm 19790  df-lbs 19843  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-nzr 20027  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-uvc 20475
This theorem is referenced by:  elfilspd  20495  islindf4  20530  ellspds  30987  fedgmul  31115
  Copyright terms: Public domain W3C validator