Theorem ellspd 20919

Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspd.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ellspd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
ellspd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ellspd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem ellspd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
2		ffn 6584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐼)
3		fnima 6547	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐼 → (𝐹 “ 𝐼) = ran 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐼) = ran 𝐹)
5	4	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) = (𝑁‘ran 𝐹))
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))
7	6	rnmpt 5853	. . . . 5 ⊢ ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))}
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
10		ellspd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
11		ellspd.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		ellspd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13		ellspd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		ellspd.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))
16		ellspd.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
17	8, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16	frlmup3 20917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))) = (𝑁‘ran 𝐹))
18	7, 17	eqtr3id 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))} = (𝑁‘ran 𝐹))
19	5, 18	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))})
20	19	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))}))
21		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ∈ V
22		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) → (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ∈ V))
23	21, 22	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
24	23	rexlimivw 3210	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
25		eqeq1 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))
26	25	rexbidv 3225	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))
27	24, 26	elab3 3610	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))
28	14	fvexi 6770	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
29		ellspd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
30		ellspd.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
31		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }
32	8, 29, 30, 31	frlmbas 20872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
33	28, 13, 32	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
34	33	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
35	34	rexeqdv 3340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))
36		breq1 5073	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑓 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝑓 finSupp 0 ))
37	36	rexrab 3626	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))
38	35, 37	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
39	27, 38	syl5bb 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
40	20, 39	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148   freeLMod cfrlm 20863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lmhm 20199  df-lbs 20252  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-nzr 20442  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-uvc 20900

This theorem is referenced by:  elfilspd  20920  islindf4  20955  ellspds  31466  fedgmul  31614