MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspd 21741
Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
ellspd.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
ellspd.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
ellspd.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
ellspd.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
ellspd.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
ellspd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
ellspd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ellspd (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   Β· ,𝑓   πœ‘,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
2 ffn 6725 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3 fnima 6688 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐼 β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) = ran 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) = ran 𝐹)
54fveq2d 6904 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (π‘β€˜ran 𝐹))
6 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))
76rnmpt 5959 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))}
8 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))
10 ellspd.v . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
11 ellspd.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
12 ellspd.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
13 ellspd.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
14 ellspd.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
1514a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€))
16 ellspd.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘€)
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 21739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))) = (π‘β€˜ran 𝐹))
187, 17eqtr3id 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} = (π‘β€˜ran 𝐹))
195, 18eqtr4d 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))})
2019eleq2d 2814 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))}))
21 ovex 7457 . . . . . 6 (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ∈ V
22 eleq1 2816 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ∈ V))
2321, 22mpbiri 257 . . . . 5 (𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
2423rexlimivw 3147 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
25 eqeq1 2731 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
2625rexbidv 3174 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
2724, 26elab3 3675 . . 3 (𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))
2814fvexi 6914 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
29 ellspd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
30 ellspd.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘†)
31 eqid 2727 . . . . . . . 8 {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }
328, 29, 30, 31frlmbas 21694 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3328, 13, 32sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 } = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3433eqcomd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 })
3534rexeqdv 3322 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
36 breq1 5153 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑓 β†’ (π‘Ž finSupp 0 ↔ 𝑓 finSupp 0 ))
3736rexrab 3691 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ {π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ π‘Ž finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))))
3835, 37bitrdi 286 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
3927, 38bitrid 282 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))π‘Ž = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹))} ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
4020, 39bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2704  βˆƒwrex 3066  {crab 3428  Vcvv 3471   class class class wbr 5150   ↦ cmpt 5233  ran crn 5681   β€œ cima 5683   Fn wfn 6546  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∘f cof 7687   ↑m cmap 8849   finSupp cfsupp 9391  Basecbs 17185  Scalarcsca 17241   ·𝑠 cvsca 17242  0gc0g 17426   Ξ£g cgsu 17427  LModclmod 20748  LSpanclspn 20860   freeLMod cfrlm 21685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-nzr 20457  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lmhm 20912  df-lbs 20965  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-uvc 21722
This theorem is referenced by:  elfilspd  21742  islindf4  21777  ellspds  33098  ply1degltdimlem  33325  fedgmul  33334
  Copyright terms: Public domain W3C validator