MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspd 21802
Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z 0 = (0g𝑆)
ellspd.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspd.f (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
ellspd.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i (𝜑𝐼𝑉)
Assertion
Ref Expression
ellspd (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
2 ffn 6730 . . . . . 6 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
3 fnima 6693 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐼 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
54fveq2d 6907 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = (𝑁‘ran 𝐹))
6 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))
76rnmpt 5963 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))}
8 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
10 ellspd.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
11 ellspd.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑀)
12 ellspd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
13 ellspd.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
14 ellspd.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (Scalar‘𝑀))
16 ellspd.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 21800 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))) = (𝑁‘ran 𝐹))
187, 17eqtr3id 2780 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))} = (𝑁‘ran 𝐹))
195, 18eqtr4d 2769 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))})
2019eleq2d 2812 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))}))
21 ovex 7459 . . . . . 6 (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ∈ V
22 eleq1 2814 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) → (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ∈ V))
2321, 22mpbiri 257 . . . . 5 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
2423rexlimivw 3141 . . . 4 (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
25 eqeq1 2730 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))))
2625rexbidv 3169 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))))
2724, 26elab3 3674 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))
2814fvexi 6917 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
29 ellspd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑆)
30 ellspd.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
31 eqid 2726 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }
328, 29, 30, 31frlmbas 21755 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3328, 13, 32sylancr 585 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3433eqcomd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
3534rexeqdv 3316 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))))
36 breq1 5158 . . . . 5 (𝑎 = 𝑓 → (𝑎 finSupp 0𝑓 finSupp 0 ))
3736rexrab 3690 . . . 4 (∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))))
3835, 37bitrdi 286 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))))
3927, 38bitrid 282 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))))
4020, 39bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾m 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓f · 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2703  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462   class class class wbr 5155  cmpt 5238  ran crn 5685  cima 5687   Fn wfn 6551  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  f cof 7690  m cmap 8857   finSupp cfsupp 9407  Basecbs 17215  Scalarcsca 17271   ·𝑠 cvsca 17272  0gc0g 17456   Σg cgsu 17457  LModclmod 20838  LSpanclspn 20950   freeLMod cfrlm 21746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-map 8859  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-sup 9487  df-oi 9555  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-seq 14024  df-hash 14350  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-hom 17292  df-cco 17293  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-prds 17464  df-pws 17466  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-mhm 18775  df-submnd 18776  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935  df-mulg 19064  df-subg 19119  df-ghm 19209  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-nzr 20497  df-subrg 20555  df-lmod 20840  df-lss 20911  df-lsp 20951  df-lmhm 21002  df-lbs 21055  df-sra 21153  df-rgmod 21154  df-dsmm 21732  df-frlm 21747  df-uvc 21783
This theorem is referenced by:  elfilspd  21803  islindf4  21838  ellspds  33245  ply1degltdimlem  33519  fedgmul  33528
  Copyright terms: Public domain W3C validator