Theorem ellspd 22113

Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspd.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ellspd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
ellspd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ellspd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem ellspd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
2		ffn 6709	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐼)
3		fnima 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐼 → (𝐹 “ 𝐼) = ran 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐼) = ran 𝐹)
5	4	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) = (𝑁‘ran 𝐹))
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))
7	6	rnmpt 5938	. . . . 5 ⊢ ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))}
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
10		ellspd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
11		ellspd.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		ellspd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13		ellspd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		ellspd.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))
16		ellspd.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
17	8, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16	frlmup3 22111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))) = (𝑁‘ran 𝐹))
18	7, 17	eqtr3id 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))} = (𝑁‘ran 𝐹))
19	5, 18	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))})
20	19	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))}))
21		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ∈ V
22		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) → (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ∈ V))
23	21, 22	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
24	23	rexlimivw 3159	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
25		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))
26	25	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))
27	24, 26	elab3 3639	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))
28	14	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
29		ellspd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
30		ellspd.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
31		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }
32	8, 29, 30, 31	frlmbas 22066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
33	28, 13, 32	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
34	33	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
35	34	rexeqdv 3320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))
36		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑓 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝑓 finSupp 0 ))
37	36	rexrab 3653	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))
38	35, 37	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
39	27, 38	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
40	20, 39	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8850   finSupp cfsupp 9356  Basecbs 17392  Scalarcsca 17436   ·_𝑠 cvsca 17437  0_gc0g 17615   Σ_g cgsu 17616  LModclmod 21140  LSpanclspn 21251   freeLMod cfrlm 22057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-nzr 20768  df-subrg 20827  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-lmhm 21302  df-lbs 21355  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-dsmm 22043  df-frlm 22058  df-uvc 22094

This theorem is used by:  elfilspd  22114  islindf4  22149  ellspds  33970  ply1degltdimlem  34300  fedgmul  34309