Theorem esumrnmpt 34216

Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumrnmpt.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumrnmpt.1	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
esumrnmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumrnmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumrnmpt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
esumrnmpt.5	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumrnmpt	⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝐶,𝑘   𝑦,𝐷   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem esumrnmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5908	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
3		esumeq1 34198	. . 3 ⊢ (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶
5		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
6		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		esumrnmpt.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8		esumrnmpt.1	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
9		esumrnmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		esumrnmpt.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11		esumrnmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	6, 7, 10, 11	disjdsct 32795	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		esumrnmpt.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
14	5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 10	esumc 34215	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
15	4, 14	eqtr4id 2791	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  Ⅎwnfc 2884  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  {csn 4568  Disj wdisj 5053   ↦ cmpt 5167  ran crn 5627  (class class class)co 7362  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  [,]cicc 13296  Σ^*cesum 34191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-xadd 13059  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-ordt 17460  df-xrs 17461  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-ntr 22999  df-nei 23077  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-tsms 24106  df-esum 34192

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  34232