Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumrnmpt 33728
Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumrnmpt.0 𝑘𝐴
esumrnmpt.1 (𝑦 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
esumrnmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
esumrnmpt.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumrnmpt.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
esumrnmpt.5 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumrnmpt (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝐶,𝑘   𝑦,𝐷   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem esumrnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
21rnmpt 5951 . . 3 ran (𝑘𝐴𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵}
3 esumeq1 33710 . . 3 (ran (𝑘𝐴𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵} → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
42, 3ax-mp 5 . 2 Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶
5 nfcv 2892 . . 3 𝑘𝐶
6 nfv 1909 . . 3 𝑘𝜑
7 esumrnmpt.0 . . 3 𝑘𝐴
8 esumrnmpt.1 . . 3 (𝑦 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
9 esumrnmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
10 esumrnmpt.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11 esumrnmpt.5 . . . 4 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
126, 7, 10, 11disjdsct 32527 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐵))
13 esumrnmpt.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
145, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 10esumc 33727 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐷 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
154, 14eqtr4id 2784 1 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wnfc 2875  wrex 3060  cdif 3936  c0 4318  {csn 4624  Disj wdisj 5108  cmpt 5226  ran crn 5673  (class class class)co 7416  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  [,]cicc 13359  Σ*cesum 33703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-xadd 13125  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-ordt 17482  df-xrs 17483  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-ntr 22942  df-nei 23020  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tsms 24049  df-esum 33704
This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  33744
  Copyright terms: Public domain W3C validator