Theorem esumrnmpt 34248

Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumrnmpt.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumrnmpt.1	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
esumrnmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumrnmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumrnmpt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
esumrnmpt.5	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumrnmpt	⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝐶,𝑘   𝑦,𝐷   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem esumrnmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5906	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
3		esumeq1 34230	. . 3 ⊢ (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶
5		nfcv 2903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
6		nfv 1922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		esumrnmpt.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8		esumrnmpt.1	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
9		esumrnmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		esumrnmpt.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11		esumrnmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	6, 7, 10, 11	disjdsct 32799	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		esumrnmpt.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
14	5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 10	esumc 34247	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
15	4, 14	eqtr4id 2795	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {cab 2719  Ⅎwnfc 2888  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3882  ∅c0 4264  {csn 4558  Disj wdisj 5042   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622  (class class class)co 7360  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  [,]cicc 13296  Σ^*cesum 34223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-disj 5043  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-xadd 13059  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-ordt 17460  df-xrs 17461  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-ntr 23007  df-nei 23085  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-tsms 24114  df-esum 34224

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  34264