Theorem esumrnmpt 34018

Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumrnmpt.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumrnmpt.1	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
esumrnmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumrnmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumrnmpt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
esumrnmpt.5	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumrnmpt	⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝐶,𝑘   𝑦,𝐷   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem esumrnmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5982	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
3		esumeq1 34000	. . 3 ⊢ (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶
5		nfcv 2908	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
6		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		esumrnmpt.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8		esumrnmpt.1	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
9		esumrnmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		esumrnmpt.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11		esumrnmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	6, 7, 10, 11	disjdsct 32716	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		esumrnmpt.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
14	5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 10	esumc 34017	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
15	4, 14	eqtr4id 2799	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  Ⅎwnfc 2893  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973  ∅c0 4352  {csn 4648  Disj wdisj 5133   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  (class class class)co 7450  0cc0 11186  +∞cpnf 11323  [,]cicc 13412  Σ^*cesum 33993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-fi 9482  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-xadd 13178  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-hash 14382  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-rest 17484  df-topn 17485  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-topgen 17505  df-ordt 17563  df-xrs 17564  df-ps 18638  df-tsr 18639  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-fbas 21386  df-fg 21387  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22976  df-ntr 23051  df-nei 23129  df-fil 23877  df-fm 23969  df-flim 23970  df-flf 23971  df-tsms 24158  df-esum 33994

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  34034