Theorem esumrnmpt 33045

Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumrnmpt.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumrnmpt.1	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
esumrnmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumrnmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumrnmpt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
esumrnmpt.5	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumrnmpt	⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝐶,𝑘   𝑦,𝐷   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem esumrnmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5954	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
3		esumeq1 33027	. . 3 ⊢ (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶
5		nfcv 2903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
6		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		esumrnmpt.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8		esumrnmpt.1	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
9		esumrnmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		esumrnmpt.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11		esumrnmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	6, 7, 10, 11	disjdsct 31919	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		esumrnmpt.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
14	5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 10	esumc 33044	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
15	4, 14	eqtr4id 2791	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  Ⅎwnfc 2883  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  {csn 4628  Disj wdisj 5113   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  (class class class)co 7408  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  [,]cicc 13326  Σ^*cesum 33020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-xadd 13092  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-ordt 17446  df-xrs 17447  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-ntr 22523  df-nei 22601  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-tsms 23630  df-esum 33021

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  33061