Theorem esumrnmpt 33994

Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumrnmpt.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumrnmpt.1	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
esumrnmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumrnmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumrnmpt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
esumrnmpt.5	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumrnmpt	⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝐶,𝑘   𝑦,𝐷   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem esumrnmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5950	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
3		esumeq1 33976	. . 3 ⊢ (ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶
5		nfcv 2897	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
6		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		esumrnmpt.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8		esumrnmpt.1	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
9		esumrnmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		esumrnmpt.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11		esumrnmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	6, 7, 10, 11	disjdsct 32659	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		esumrnmpt.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
14	5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 10	esumc 33993	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
15	4, 14	eqtr4id 2788	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2712  Ⅎwnfc 2882  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3930  ∅c0 4315  {csn 4608  Disj wdisj 5092   ↦ cmpt 5207  ran crn 5668  (class class class)co 7414  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  [,]cicc 13373  Σ^*cesum 33969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-disj 5093  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-fi 9434  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-xadd 13138  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-hash 14353  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-rest 17443  df-topn 17444  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-topgen 17464  df-ordt 17522  df-xrs 17523  df-ps 18585  df-tsr 18586  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-cntz 19309  df-cmn 19773  df-fbas 21328  df-fg 21329  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-ntr 22993  df-nei 23071  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913  df-tsms 24100  df-esum 33970

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  34010