Theorem rspvalint 21348

Description: The ideal generated by a subset of a ring as intersection of ideals including the subset. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspvalint.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspvalint.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspvalint.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspvalint	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})

Distinct variable groups:   𝑡,𝐼   𝑡,𝑅   𝑡,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rspvalint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalint.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rspval 21314	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4	3	fveq1i 6882	. . 3 ⊢ (𝐾‘𝑆) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑆)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑆))
6		rlmlmod 21303	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7		rspvalint.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		rlmbas 21293	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9	7, 8	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
10	9	sseq2i 3965	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
11	10	bilani 509	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
15	12, 13, 14	lspval 21075	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
16	6, 11, 15	syl2an2r 697	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
17		rspvalint.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
18		lidlval 21313	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19	17, 18	eqtr2i 2785	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝐼
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝐼)
21	20	rabeqdv 3429	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} = {𝑡 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
22	21	inteqd 4916	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} = ∩ {𝑡 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
23	5, 16, 22	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∩ cint 4911  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  Ringcrg 20314  LModclmod 20960  LSubSpclss 21031  LSpanclspn 21071  ringLModcrglmod 21272  LIdealclidl 21309  RSpancrsp 21310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-subg 19188  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312

This theorem is referenced by:  rspprop  21349