Theorem rspvalint 21433

Description: The ideal generated by a subset of a ring as intersection of ideals including the subset. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspvalint.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspvalint.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspvalint.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspvalint	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})

Distinct variable groups:   𝑡,𝐼   𝑡,𝑅   𝑡,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rspvalint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalint.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rspval 21399	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4	3	fveq1i 6883	. . 3 ⊢ (𝐾‘𝑆) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑆)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑆))
6		rlmlmod 21388	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7		rspvalint.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		rlmbas 21378	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9	7, 8	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
10	9	sseq2i 3963	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
11	10	bilani 510	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
15	12, 13, 14	lspval 21160	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
16	6, 11, 15	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
17		rspvalint.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
18		lidlval 21398	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19	17, 18	eqtr2i 2786	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝐼
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝐼)
21	20	rabeqdv 3429	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} = {𝑡 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
22	21	inteqd 4915	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} = ∩ {𝑡 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
23	5, 16, 22	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  Ringcrg 20373  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  LSpanclspn 21156  ringLModcrglmod 21357  LIdealclidl 21394  RSpancrsp 21395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-subg 19247  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397

This theorem is used by:  rspprop  21434