Theorem rspprop 21349

Description: Properties of a class to be the ideal generated by a subset of a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspvalint.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspvalint.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspvalint.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspprop	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑅,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑖)

Proof of Theorem rspprop

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalint.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rspvalint.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rspvalint.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	rspcl 21343	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼)
5	1, 2	rspssid 21344	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆))
6	1, 3	rspssp 21347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑖) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)
7	6	3expia 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
8	7	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
10	4, 5, 9	3jca 1144	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)))
11		eleq1 2849	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ 𝐼))
12		sseq2 3962	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
13		sseq1 3961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑖))
14	13	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
15	14	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
16	11, 12, 15	3anbi123d 1462	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
17	10, 16	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
18	1, 3	rspssp 21347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
19	18	3adant3r3 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
20	19	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
21		ssint 4928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖)
22		sseq2 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑆 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑖))
23	22	ralrab 3656	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))
24	21, 23	sylbbr 239	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
25	24	3ad2ant3 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
26	25	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
27	2, 3, 1	rspvalint 21348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
28	27	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
29	26, 28	sseqtrrd 3973	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ (𝐾‘𝑆))
30	20, 29	eqssd 3953	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋)
31	30	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋))
32	17, 31	impbid 215	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∩ cint 4911  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  Ringcrg 20314  LIdealclidl 21309  RSpancrsp 21310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312

This theorem is referenced by: (None)