Theorem rspprop 21434

Description: Properties of a class to be the ideal generated by a subset of a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspvalint.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspvalint.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspvalint.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspprop	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑅,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑖)

Proof of Theorem rspprop

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalint.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rspvalint.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rspvalint.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	rspcl 21428	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼)
5	1, 2	rspssid 21429	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆))
6	1, 3	rspssp 21432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑖) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)
7	6	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
8	7	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
10	4, 5, 9	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)))
11		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ 𝐼))
12		sseq2 3960	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
13		sseq1 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑖))
14	13	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
15	14	ralbidv 3187	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
16	11, 12, 15	3anbi123d 1464	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
17	10, 16	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
18	1, 3	rspssp 21432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
19	18	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
20	19	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
21		ssint 4927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖)
22		sseq2 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑆 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑖))
23	22	ralrab 3655	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))
24	21, 23	sylbbr 239	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
25	24	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
27	2, 3, 1	rspvalint 21433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
29	26, 28	sseqtrrd 3971	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ (𝐾‘𝑆))
30	20, 29	eqssd 3951	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋)
31	30	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋))
32	17, 31	impbid 215	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  Ringcrg 20373  LIdealclidl 21394  RSpancrsp 21395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397

This theorem is used by: (None)