Theorem rspprop 21433

Description: Properties of a class to be the ideal generated by a subset of a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspvalint.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspvalint.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspvalint.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspprop	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑅,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑖)

Proof of Theorem rspprop

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalint.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rspvalint.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rspvalint.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	rspcl 21427	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼)
5	1, 2	rspssid 21428	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆))
6	1, 3	rspssp 21431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑖) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)
7	6	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
8	7	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
10	4, 5, 9	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)))
11		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ 𝐼))
12		sseq2 3957	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
13		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑖))
14	13	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
15	14	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
16	11, 12, 15	3anbi123d 1464	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
17	10, 16	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
18	1, 3	rspssp 21431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
19	18	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
20	19	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
21		ssint 4924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖)
22		sseq2 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑆 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑖))
23	22	ralrab 3652	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))
24	21, 23	sylbbr 239	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
25	24	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
27	2, 3, 1	rspvalint 21432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
29	26, 28	sseqtrrd 3968	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ (𝐾‘𝑆))
30	20, 29	eqssd 3948	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋)
31	30	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋))
32	17, 31	impbid 215	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∩ cint 4907  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  Ringcrg 20372  LIdealclidl 21393  RSpancrsp 21394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-lidl 21395  df-rsp 21396

This theorem is used by: (None)