Theorem rspprop 21381

Description: Properties of a class to be the ideal generated by a subset of a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspvalint.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspvalint.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspvalint.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspprop	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑅,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑖)

Proof of Theorem rspprop

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalint.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rspvalint.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rspvalint.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	rspcl 21375	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼)
5	1, 2	rspssid 21376	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆))
6	1, 3	rspssp 21379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑖) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)
7	6	3expia 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
8	7	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
10	4, 5, 9	3jca 1145	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)))
11		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ 𝐼))
12		sseq2 3962	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
13		sseq1 3961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑖))
14	13	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
15	14	ralbidv 3187	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
16	11, 12, 15	3anbi123d 1463	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
17	10, 16	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
18	1, 3	rspssp 21379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
19	18	3adant3r3 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
20	19	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
21		ssint 4928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖)
22		sseq2 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑆 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑖))
23	22	ralrab 3656	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))
24	21, 23	sylbbr 239	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
25	24	3ad2ant3 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
26	25	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
27	2, 3, 1	rspvalint 21380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
28	27	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
29	26, 28	sseqtrrd 3973	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ (𝐾‘𝑆))
30	20, 29	eqssd 3953	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋)
31	30	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋))
32	17, 31	impbid 215	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415   ⊆ wss 3904  ∩ cint 4911  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  Ringcrg 20321  LIdealclidl 21341  RSpancrsp 21342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344

This theorem is used by: (None)