Theorem rspprop 21551

Description: Properties of a class to be the ideal generated by a subset of a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspvalint.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspvalint.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
rspvalint.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspprop	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑅,𝑖   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑖)

Proof of Theorem rspprop

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalint.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rspvalint.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rspvalint.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	rspcl 21545	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼)
5	1, 2	rspssid 21546	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆))
6	1, 3	rspssp 21549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑖) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)
7	6	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
8	7	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖))
10	4, 5, 9	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)))
11		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ 𝐼))
12		sseq2 3939	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
13		sseq1 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑖))
14	13	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → ((𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
15	14	ralbidv 3189	. . . 4 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)))
16	11, 12, 15	3anbi123d 1465	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (((𝐾‘𝑆) ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐾‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑖)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
17	10, 16	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 → (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))
18	1, 3	rspssp 21549	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
19	18	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
20	19	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝑋)
21		ssint 4927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖)
22		sseq2 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑆 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑖))
23	22	ralrab 3655	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗}𝑋 ⊆ 𝑖 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))
24	21, 23	sylbbr 239	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
25	24	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
27	2, 3, 1	rspvalint 21550	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = ∩ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑗})
29	26, 28	sseqtrrd 3950	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → 𝑋 ⊆ (𝐾‘𝑆))
30	20, 29	eqssd 3930	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋)
31	30	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖)) → (𝐾‘𝑆) = 𝑋))
32	17, 31	impbid 215	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐾‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆 ⊆ 𝑖 → 𝑋 ⊆ 𝑖))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∩ cint 4910  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  Ringcrg 20486  LIdealclidl 21511  RSpancrsp 21512

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-rsp 21514

This theorem is used by: (None)