Theorem rusgrnumwwlkb1 30497

Description: Induction base 1 for rusgrnumwwlk 30500. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgrnumwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l	⊢ 𝐿 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwwlkb1	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (𝑃𝐿1) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑤,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑣, 𝑛)   𝐿(𝑤, 𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem rusgrnumwwlkb1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → 𝑃 ∈ 𝑉)
2		1nn0 12591	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		rusgrnumwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		rusgrnumwwlk.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
5	3, 4	rusgrnumwwlklem 30495	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿1) = (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
6	1, 2, 5	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (𝑃𝐿1) = (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
7	3	rusgrnumwwlkl1 30493	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)
8	6, 7	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (𝑃𝐿1) = 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  0cc0 11171  1c1 11172  ℕ₀cn0 12575  ♯chash 14441  Vtxcvtx 29507   RegUSGraph crusgr 30070   WWalksN cwwlksn 30348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-xadd 13211  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-edg 29559  df-uhgr 29569  df-ushgr 29570  df-upgr 29593  df-umgr 29594  df-uspgr 29664  df-usgr 29665  df-nbgr 29847  df-vtxdg 29980  df-rgr 30071  df-rusgr 30072  df-wwlks 30352  df-wwlksn 30353

This theorem is used by: (None)