Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrnumwwlkb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgrnumwwlkb1 27737
 Description: Induction base 1 for rusgrnumwwlk 27740. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgrnumwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
Assertion
Ref Expression
rusgrnumwwlkb1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (𝑃𝐿1) = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑣,𝑛)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem rusgrnumwwlkb1
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → 𝑃𝑉)
2 1nn0 11892 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 rusgrnumwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 rusgrnumwwlk.l . . . 4 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
53, 4rusgrnumwwlklem 27735 . . 3 ((𝑃𝑉 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿1) = (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
61, 2, 5sylancl 588 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (𝑃𝐿1) = (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
73rusgrnumwwlkl1 27733 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)
86, 7eqtrd 2855 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (𝑃𝐿1) = 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3129   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ∈ cmpo 7135  0cc0 10515  1c1 10516  ℕ0cn0 11876  ♯chash 13675  Vtxcvtx 26768   RegUSGraph crusgr 27325   WWalksN cwwlksn 27591 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-xadd 12487  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-hash 13676  df-word 13847  df-edg 26820  df-uhgr 26830  df-ushgr 26831  df-upgr 26854  df-umgr 26855  df-uspgr 26922  df-usgr 26923  df-nbgr 27102  df-vtxdg 27235  df-rgr 27326  df-rusgr 27327  df-wwlks 27595  df-wwlksn 27596 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator