Theorem rloc0g 33258

Description: The zero of a ring localization. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rloc0g.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rloc0g.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rloc0g.3	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rloc0g.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rloc0g.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rloc0g.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rloc0g.o	⊢ 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼

Assertion

Ref	Expression
rloc0g	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘𝐿))

Proof of Theorem rloc0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rloc0g.o	. 2 ⊢ 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		rloc0g.3	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
6		rloc0g.4	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
7		rloc0g.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		rloc0g.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rloccring 33257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
10	9	crnggrpd 20265	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Grp)
11	7	crnggrpd 20265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12		rloc0g.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	2, 12	grpidcl 18996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16		rloc0g.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	15, 16	ringidval 20201	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18	17	subm0cl 18837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
19	8, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
20	14, 19	opelxpd 5728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆))
21	6	ovexi 7465	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
22	21	ecelqsi 8812	. . . . 5 ⊢ (⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆) → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ))
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ))
24		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
25		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) × 𝑆) = ((Base‘𝑅) × 𝑆)
26	15, 2	mgpbas 20158	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	26	submss 18835	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
28	8, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
29	2, 12, 3, 24, 25, 5, 6, 7, 28	rlocbas 33254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
30	23, 29	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
31		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
32	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 14, 19, 19, 31	rlocaddval 33255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	7	crngringd 20264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	2, 3, 16, 33, 14	ringridmd 20287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑅) 1 ) = 0 )
35	34, 34	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )) = ( 0 (+g‘𝑅) 0 ))
36	2, 4, 12, 11, 14	grplidd 19000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
37	35, 36	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )) = 0 )
38	28, 19	sseldd 3996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
39	2, 3, 16, 33, 38	ringlidmd 20286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
40	37, 39	opeq12d 4886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨ 0 , 1 ⟩)
41	40	eceq1d 8784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
42	32, 41	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
43		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
44		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
45	43, 31, 44	isgrpid2 19007	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ Grp → (([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) ↔ (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ))
46	45	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )) → (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
47	10, 30, 42, 46	syl12anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
48	1, 47	eqtr4id 2794	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ⟨cop 4637   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  SubMndcsubmnd 18808  Grpcgrp 18964  -_gcsg 18966  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199  CRingccrg 20252   ~_RL cerl 33240   RLocal crloc 33241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-erl 33242  df-rloc 33243

This theorem is referenced by:  fracfld  33290