Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rloc0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rloc0g 33275
Description: The zero of a ring localization. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rloc0g.1 0 = (0g𝑅)
rloc0g.2 1 = (1r𝑅)
rloc0g.3 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rloc0g.4 = (𝑅 ~RL 𝑆)
rloc0g.5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rloc0g.6 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rloc0g.o 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩]
Assertion
Ref Expression
rloc0g (𝜑𝑂 = (0g𝐿))

Proof of Theorem rloc0g
StepHypRef Expression
1 rloc0g.o . 2 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩]
2 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 rloc0g.3 . . . . 5 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
6 rloc0g.4 . . . . 5 = (𝑅 ~RL 𝑆)
7 rloc0g.5 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
8 rloc0g.6 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8rloccring 33274 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ CRing)
109crnggrpd 20244 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ Grp)
117crnggrpd 20244 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
12 rloc0g.1 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
132, 12grpidcl 18983 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
15 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16 rloc0g.2 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
1715, 16ringidval 20180 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
1817subm0cl 18824 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1𝑆)
198, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑1𝑆)
2014, 19opelxpd 5724 . . . . 5 (𝜑 → ⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆))
216ovexi 7465 . . . . . 6 ∈ V
2221ecelqsi 8813 . . . . 5 (⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆) → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ))
2320, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ))
24 eqid 2737 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
25 eqid 2737 . . . . 5 ((Base‘𝑅) × 𝑆) = ((Base‘𝑅) × 𝑆)
2615, 2mgpbas 20142 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2726submss 18822 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
288, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
292, 12, 3, 24, 25, 5, 6, 7, 28rlocbas 33271 . . . 4 (𝜑 → (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ) = (Base‘𝐿))
3023, 29eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∈ (Base‘𝐿))
31 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝐿) = (+g𝐿)
322, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 14, 19, 19, 31rlocaddval 33272 . . . 4 (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] (+g𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ) = [⟨(( 0 (.r𝑅) 1 )(+g𝑅)( 0 (.r𝑅) 1 )), ( 1 (.r𝑅) 1 )⟩] )
337crngringd 20243 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
342, 3, 16, 33, 14ringridmd 20270 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 0 (.r𝑅) 1 ) = 0 )
3534, 34oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → (( 0 (.r𝑅) 1 )(+g𝑅)( 0 (.r𝑅) 1 )) = ( 0 (+g𝑅) 0 ))
362, 4, 12, 11, 14grplidd 18987 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
3735, 36eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (( 0 (.r𝑅) 1 )(+g𝑅)( 0 (.r𝑅) 1 )) = 0 )
3828, 19sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑1 ∈ (Base‘𝑅))
392, 3, 16, 33, 38ringlidmd 20269 . . . . . 6 (𝜑 → ( 1 (.r𝑅) 1 ) = 1 )
4037, 39opeq12d 4881 . . . . 5 (𝜑 → ⟨(( 0 (.r𝑅) 1 )(+g𝑅)( 0 (.r𝑅) 1 )), ( 1 (.r𝑅) 1 )⟩ = ⟨ 0 , 1 ⟩)
4140eceq1d 8785 . . . 4 (𝜑 → [⟨(( 0 (.r𝑅) 1 )(+g𝑅)( 0 (.r𝑅) 1 )), ( 1 (.r𝑅) 1 )⟩] = [⟨ 0 , 1 ⟩] )
4232, 41eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] (+g𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] )
43 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
44 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝐿) = (0g𝐿)
4543, 31, 44isgrpid2 18994 . . . 4 (𝐿 ∈ Grp → (([⟨ 0 , 1 ⟩] ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] (+g𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ) ↔ (0g𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ))
4645biimpa 476 . . 3 ((𝐿 ∈ Grp ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] (+g𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] )) → (0g𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] )
4710, 30, 42, 46syl12anc 837 . 2 (𝜑 → (0g𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] )
481, 47eqtr4id 2796 1 (𝜑𝑂 = (0g𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cop 4632   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  CRingccrg 20231   ~RL cerl 33257   RLocal crloc 33258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-erl 33259  df-rloc 33260
This theorem is referenced by:  fracfld  33310
  Copyright terms: Public domain W3C validator