Theorem rloc0g 33229

Description: The zero of a ring localization. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rloc0g.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rloc0g.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rloc0g.3	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rloc0g.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rloc0g.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rloc0g.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rloc0g.o	⊢ 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼

Assertion

Ref	Expression
rloc0g	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘𝐿))

Proof of Theorem rloc0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rloc0g.o	. 2 ⊢ 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		rloc0g.3	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
6		rloc0g.4	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
7		rloc0g.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		rloc0g.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rloccring 33228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
10	9	crnggrpd 20163	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Grp)
11	7	crnggrpd 20163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12		rloc0g.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	2, 12	grpidcl 18904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16		rloc0g.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	15, 16	ringidval 20099	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18	17	subm0cl 18745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
19	8, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
20	14, 19	opelxpd 5680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆))
21	6	ovexi 7424	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
22	21	ecelqsi 8746	. . . . 5 ⊢ (⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆) → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ))
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ))
24		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
25		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) × 𝑆) = ((Base‘𝑅) × 𝑆)
26	15, 2	mgpbas 20061	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	26	submss 18743	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
28	8, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
29	2, 12, 3, 24, 25, 5, 6, 7, 28	rlocbas 33225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
30	23, 29	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
31		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
32	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 14, 19, 19, 31	rlocaddval 33226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	7	crngringd 20162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	2, 3, 16, 33, 14	ringridmd 20189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑅) 1 ) = 0 )
35	34, 34	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )) = ( 0 (+g‘𝑅) 0 ))
36	2, 4, 12, 11, 14	grplidd 18908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
37	35, 36	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )) = 0 )
38	28, 19	sseldd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
39	2, 3, 16, 33, 38	ringlidmd 20188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
40	37, 39	opeq12d 4848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨ 0 , 1 ⟩)
41	40	eceq1d 8714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
42	32, 41	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
43		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
44		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
45	43, 31, 44	isgrpid2 18915	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ Grp → (([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) ↔ (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ))
46	45	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )) → (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
47	10, 30, 42, 46	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
48	1, 47	eqtr4id 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  [cec 8672   / cqs 8673  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409  SubMndcsubmnd 18716  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  CRingccrg 20150   ~_RL cerl 33211   RLocal crloc 33212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-erl 33213  df-rloc 33214

This theorem is referenced by:  fracfld  33265