Theorem rloc0g 33752

Description: The zero of a ring localization. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rloc0g.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rloc0g.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rloc0g.3	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rloc0g.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rloc0g.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rloc0g.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rloc0g.o	⊢ 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼

Assertion

Ref	Expression
rloc0g	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘𝐿))

Proof of Theorem rloc0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rloc0g.o	. 2 ⊢ 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		rloc0g.3	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
6		rloc0g.4	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
7		rloc0g.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		rloc0g.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rloccring 33751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
10	9	crnggrpd 20421	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Grp)
11	7	crnggrpd 20421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12		rloc0g.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	2, 12	grpidcl 19123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	11, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16		rloc0g.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	15, 16	ringidval 20356	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18	17	subm0cl 18953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
19	8, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
20	14, 19	opelxpd 5687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆))
21	6	ovexi 7443	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
22	21	ecelqsi 8769	. . . . 5 ⊢ (⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆) → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ))
23	20, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ))
24		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
25		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) × 𝑆) = ((Base‘𝑅) × 𝑆)
26	15, 2	mgpbas 20312	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	26	submss 18951	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
28	8, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
29	2, 12, 3, 24, 25, 5, 6, 7, 28	rlocbas 33748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
30	23, 29	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
31		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
32	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 14, 19, 19, 31	rlocaddval 33749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	7	crngringd 20420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	2, 3, 16, 33, 14	ringridmd 20449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑅) 1 ) = 0 )
35	34, 34	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )) = ( 0 (+g‘𝑅) 0 ))
36	2, 4, 12, 11, 14	grplidd 19127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
37	35, 36	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )) = 0 )
38	28, 19	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
39	2, 3, 16, 33, 38	ringlidmd 20448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
40	37, 39	opeq12d 4841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨ 0 , 1 ⟩)
41	40	eceq1d 8737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
42	32, 41	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
43		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
44		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
45	43, 31, 44	isgrpid2 19134	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ Grp → (([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) ↔ (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ))
46	45	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )) → (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
47	10, 30, 42, 46	syl12anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
48	1, 47	eqtr4id 2814	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   × cxp 5646  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  [cec 8694   / cqs 8695  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  ._rcmulr 17376  0_gc0g 17557  SubMndcsubmnd 18924  Grpcgrp 19091  -_gcsg 19093  mulGrpcmgp 20307  1_rcur 20354  CRingccrg 20407   ~_RL cerl 33733   RLocal crloc 33734

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-0g 17559  df-imas 17627  df-qus 17628  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-erl 33735  df-rloc 33736

This theorem is used by:  fracfld  33789