Theorem rloc0g 33061

Description: The zero of a ring localization. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rloc0g.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rloc0g.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rloc0g.3	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rloc0g.4	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rloc0g.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rloc0g.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
rloc0g.o	⊢ 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼

Assertion

Ref	Expression
rloc0g	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘𝐿))

Proof of Theorem rloc0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rloc0g.o	. 2 ⊢ 𝑂 = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼
2		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		rloc0g.3	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
6		rloc0g.4	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
7		rloc0g.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		rloc0g.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rloccring 33060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)
10	9	crnggrpd 20199	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Grp)
11	7	crnggrpd 20199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12		rloc0g.1	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	2, 12	grpidcl 18930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16		rloc0g.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	15, 16	ringidval 20135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18	17	subm0cl 18771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑆)
19	8, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
20	14, 19	opelxpd 5717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆))
21	6	ovexi 7453	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
22	21	ecelqsi 8792	. . . . 5 ⊢ (⟨ 0 , 1 ⟩ ∈ ((Base‘𝑅) × 𝑆) → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ))
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ))
24		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
25		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) × 𝑆) = ((Base‘𝑅) × 𝑆)
26	15, 2	mgpbas 20092	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	26	submss 18769	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
28	8, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
29	2, 12, 3, 24, 25, 5, 6, 7, 28	rlocbas 33057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Base‘𝑅) × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
30	23, 29	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
31		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
32	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 14, 19, 19, 31	rlocaddval 33058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ )
33	7	crngringd 20198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	2, 3, 16, 33, 14	ringridmd 20221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑅) 1 ) = 0 )
35	34, 34	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )) = ( 0 (+g‘𝑅) 0 ))
36	2, 4, 12, 11, 14	grplidd 18934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
37	35, 36	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )) = 0 )
38	28, 19	sseldd 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
39	2, 3, 16, 33, 38	ringlidmd 20220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
40	37, 39	opeq12d 4883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩ = ⟨ 0 , 1 ⟩)
41	40	eceq1d 8764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨(( 0 (.r‘𝑅) 1 )(+g‘𝑅)( 0 (.r‘𝑅) 1 )), ( 1 (.r‘𝑅) 1 )⟩] ∼ = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
42	32, 41	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
43		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
44		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
45	43, 31, 44	isgrpid2 18941	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ Grp → (([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) ↔ (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ))
46	45	biimpa 475	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿) ∧ ([⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ ) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )) → (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
47	10, 30, 42, 46	syl12anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = [⟨ 0 , 1 ⟩] ∼ )
48	1, 47	eqtr4id 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ⟨cop 4636   × cxp 5676  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  [cec 8723   / cqs 8724  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  0_gc0g 17424  SubMndcsubmnd 18742  Grpcgrp 18898  -_gcsg 18900  mulGrpcmgp 20086  1_rcur 20133  CRingccrg 20186   ~_RL cerl 33043   RLocal crloc 33044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-0g 17426  df-imas 17493  df-qus 17494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-erl 33045  df-rloc 33046

This theorem is referenced by:  fracfld  33094