Theorem m2cpmmhm 22602

Description: The transformation of matrices into constant polynomial matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpm.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2cpmghm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
m2cpmghm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpmghm.u	⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
m2cpmmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈)))

Proof of Theorem m2cpmmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpm.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		m2cpm.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		m2cpm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		m2cpmghm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		m2cpmghm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mat2pmatmhm 22590	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))
8		crngring 20150	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	anim2i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
10		m2cpm.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
11	10, 4, 5	cpmatsrgpmat 22578	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))
12		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
13	12	subrgsubm 20487	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝐶)))
14	9, 11, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝐶)))
15	10, 1, 2, 3	m2cpmf 22599	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝑆)
16		frn 6718	. . . 4 ⊢ (𝑇:𝐵⟶𝑆 → ran 𝑇 ⊆ 𝑆)
17	9, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ran 𝑇 ⊆ 𝑆)
18	5	ovexi 7439	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
19	10	ovexi 7439	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
20		m2cpmghm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)
21	20, 12	mgpress 20054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((mulGrp‘𝐶) ↾s 𝑆) = (mulGrp‘𝑈))
22	18, 19, 21	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝐶) ↾s 𝑆) = (mulGrp‘𝑈)
23	22	eqcomi 2735	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = ((mulGrp‘𝐶) ↾s 𝑆)
24	23	resmhm2b 18747	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝐶)) ∧ ran 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)) ↔ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
25	14, 17, 24	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)) ↔ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
26	7, 25	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ran crn 5670  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182   MndHom cmhm 18711  SubMndcsubmnd 18712  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  SubRingcsubrg 20469  Poly₁cpl1 22051   Mat cmat 22262   ConstPolyMat ccpmat 22560   matToPolyMat cmat2pmat 22561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-assa 21748  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-cpmat 22563  df-mat2pmat 22564

This theorem is referenced by:  m2cpmrhm  22603