Theorem tgextancd 33098

Description: The target-side non-collinearity of the exterior angle. Line 𝐶𝐷 is line 𝐶𝐵-- 𝐶 lies between 𝐵 and 𝐷, and 𝐶 ≠ 𝐷-- so 𝐴 is off it exactly because the triangle is non-degenerate. This is acopyeu 29372's acopy.2 frame hypothesis in tgextancgra 33104, and it is what excludes isinag 29387's 𝑥 = 𝐶 branch in tgextahp 33103. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgextancd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgextancd.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgextancd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgextancd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgextancd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgextancd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgextancd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgextancd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgextancd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgextancd.ext	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
tgextancd.ncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tgextancd.ne	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tgextancd	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem tgextancd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgextancd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgextancd.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tgextancd.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgextancd.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgextancd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgextancd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		tgextancd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgextancd.ncol	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ncolcom 29054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
10		ioran 999	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵))
11	9, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵))
12	11	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
13	11	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
14	13	neqned 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
15		tgextancd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		tgextancd.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
17	16	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)
18		tgextancd.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
19		tgextancd.ext	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
20	1, 18, 3, 4, 5, 6, 15, 19	tgbtwncom 28981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
21	1, 2, 3, 4, 6, 5, 15, 20	btwncolg2 29049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
22	21, 13	olcnd 891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
23	1, 3, 2, 4, 6, 5, 14, 15, 17, 22	tglineelsb2 29130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
24	23	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
25	12, 24	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
26	16	neneqd 2964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐷)
27	25, 26	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
28		ioran 999	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
29	27, 28	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-cgrg 29004

This theorem is used by:  tgextahp  33103  tgextancgra  33104