Theorem tglineelsb2 28410

Description: If 𝑆 lies on PQ , then PQ = PS . Theorem 6.16 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglineelsb2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
tglineelsb2.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Assertion

Ref	Expression
tglineelsb2	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Proof of Theorem tglineelsb2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineelsb2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		tglineelsb2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
10		tglineelsb2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
11	10	necomd 2991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑆)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑆)
13		tglineelsb2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
15		tglineelsb2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
16	15	necomd 2991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ≠ 𝑃)
18		tglineelsb2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
20	1, 2, 3, 5, 14, 7, 9, 17, 19	lncom 28400	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑄𝐿𝑃))
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14, 12, 20, 17	lnrot1 28401	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
22	1, 3, 2, 4, 6, 13, 15	tglnssp 28330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21, 23, 24	tglineeltr 28409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
26	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
28	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
29	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
30	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
31	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ≠ 𝑃)
32	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
33	1, 3, 2, 4, 6, 8, 11	tglnssp 28330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑆) ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
36	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35	tglineeltr 28409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
37	25, 36	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)))
38	37	eqrdv 2725	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  TarskiGcstrkg 28205  Itvcitv 28211  LineGclng 28212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-s1 14564  df-s2 14817  df-s3 14818  df-trkgc 28226  df-trkgb 28227  df-trkgcb 28228  df-trkg 28231  df-cgrg 28289

This theorem is referenced by:  tglinethru  28414  ncolncol  28424  coltr3  28426  hlperpnel  28503  colperpexlem3  28510  mideulem2  28512  lmieu  28562  lmiisolem  28574