Theorem tglineelsb2 28708

Description: If 𝑆 lies on PQ , then PQ = PS . Theorem 6.16 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglineelsb2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
tglineelsb2.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Assertion

Ref	Expression
tglineelsb2	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Proof of Theorem tglineelsb2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineelsb2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		tglineelsb2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
10		tglineelsb2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
11	10	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑆)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑆)
13		tglineelsb2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
15		tglineelsb2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
16	15	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ≠ 𝑃)
18		tglineelsb2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
20	1, 2, 3, 5, 14, 7, 9, 17, 19	lncom 28698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑄𝐿𝑃))
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14, 12, 20, 17	lnrot1 28699	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
22	1, 3, 2, 4, 6, 13, 15	tglnssp 28628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21, 23, 24	tglineeltr 28707	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
26	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
28	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
29	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
30	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
31	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ≠ 𝑃)
32	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
33	1, 3, 2, 4, 6, 8, 11	tglnssp 28628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑆) ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
36	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35	tglineeltr 28707	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
37	25, 36	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)))
38	37	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  TarskiGcstrkg 28503  Itvcitv 28509  LineGclng 28510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-s2 14775  df-s3 14776  df-trkgc 28524  df-trkgb 28525  df-trkgcb 28526  df-trkg 28529  df-cgrg 28587

This theorem is referenced by:  tglinethru  28712  ncolncol  28722  coltr3  28724  hlperpnel  28801  colperpexlem3  28808  mideulem2  28810  lmieu  28860  lmiisolem  28872