Theorem tglineelsb2 28610

Description: If 𝑆 lies on PQ , then PQ = PS . Theorem 6.16 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglineelsb2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
tglineelsb2.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Assertion

Ref	Expression
tglineelsb2	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Proof of Theorem tglineelsb2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineelsb2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		tglineelsb2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
10		tglineelsb2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
11	10	necomd 2983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑆)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑆)
13		tglineelsb2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
15		tglineelsb2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
16	15	necomd 2983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ≠ 𝑃)
18		tglineelsb2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
20	1, 2, 3, 5, 14, 7, 9, 17, 19	lncom 28600	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑄𝐿𝑃))
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14, 12, 20, 17	lnrot1 28601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
22	1, 3, 2, 4, 6, 13, 15	tglnssp 28530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21, 23, 24	tglineeltr 28609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
26	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
28	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
29	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
30	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
31	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ≠ 𝑃)
32	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
33	1, 3, 2, 4, 6, 8, 11	tglnssp 28530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑆) ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
36	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35	tglineeltr 28609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
37	25, 36	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)))
38	37	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  TarskiGcstrkg 28405  Itvcitv 28411  LineGclng 28412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28426  df-trkgb 28427  df-trkgcb 28428  df-trkg 28431  df-cgrg 28489

This theorem is referenced by:  tglinethru  28614  ncolncol  28624  coltr3  28626  hlperpnel  28703  colperpexlem3  28710  mideulem2  28712  lmieu  28762  lmiisolem  28774