Theorem tglineelsb2 28977

Description: If 𝑆 lies on PQ , then PQ = PS . Theorem 6.16 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglineelsb2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
tglineelsb2.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Assertion

Ref	Expression
tglineelsb2	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Proof of Theorem tglineelsb2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineelsb2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		tglineelsb2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
10		tglineelsb2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
11	10	necomd 3012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑆)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑆)
13		tglineelsb2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
15		tglineelsb2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
16	15	necomd 3012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ≠ 𝑃)
18		tglineelsb2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
20	1, 2, 3, 5, 14, 7, 9, 17, 19	lncom 28967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑄𝐿𝑃))
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14, 12, 20, 17	lnrot1 28968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
22	1, 3, 2, 4, 6, 13, 15	tglnssp 28892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21, 23, 24	tglineeltr 28976	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
26	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
28	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
29	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
30	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
31	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ≠ 𝑃)
32	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
33	1, 3, 2, 4, 6, 8, 11	tglnssp 28892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑆) ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
36	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35	tglineeltr 28976	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
37	25, 36	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)))
38	37	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  TarskiGcstrkg 28766  Itvcitv 28772  LineGclng 28773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkg 28792  df-cgrg 28851

This theorem is used by:  tglinethru  28981  ncolncol  28992  coltr3  28994  hlperpnel  29078  colperpexlem3  29085  mideulem2  29087  plngrotlem1  29142  plngrotlem2  29143  lmieu  29166  lmiisolem  29178  perpeq  29225  tgaaddcpbllem2  29227  prlngsymquadopp  29308  morleylemrneab  35166