Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineelsb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineelsb2 26432
 Description: If 𝑆 lies on PQ , then PQ = PS . Theorem 6.16 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglineelsb2.3 (𝜑𝑆𝐵)
tglineelsb2.5 (𝜑𝑆𝑃)
tglineelsb2.6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
Assertion
Ref Expression
tglineelsb2 (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Proof of Theorem tglineelsb2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tglineelsb2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglineelsb2.1 . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃𝐵)
8 tglineelsb2.3 . . . . 5 (𝜑𝑆𝐵)
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆𝐵)
10 tglineelsb2.5 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑃)
1110necomd 3069 . . . . 5 (𝜑𝑃𝑆)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃𝑆)
13 tglineelsb2.2 . . . . 5 (𝜑𝑄𝐵)
1413adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄𝐵)
15 tglineelsb2.4 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝑄)
1615necomd 3069 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑃)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄𝑃)
18 tglineelsb2.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
1918adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
201, 2, 3, 5, 14, 7, 9, 17, 19lncom 26422 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑄𝐿𝑃))
211, 2, 3, 5, 7, 9, 14, 12, 20, 17lnrot1 26423 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
221, 3, 2, 4, 6, 13, 15tglnssp 26352 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) ⊆ 𝐵)
2322sselda 3953 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥𝐵)
24 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
251, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21, 23, 24tglineeltr 26431 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
264adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
276adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃𝐵)
2813adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑄𝐵)
2915adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃𝑄)
308adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆𝐵)
3110adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆𝑃)
3218adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
331, 3, 2, 4, 6, 8, 11tglnssp 26352 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐿𝑆) ⊆ 𝐵)
3433sselda 3953 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥𝐵)
35 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
361, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35tglineeltr 26431 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
3725, 36impbida 800 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)))
3837eqrdv 2822 1 (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  TarskiGcstrkg 26230  Itvcitv 26236  LineGclng 26237 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26248  df-trkgb 26249  df-trkgcb 26250  df-trkg 26253  df-cgrg 26311 This theorem is referenced by:  tglinethru  26436  ncolncol  26446  coltr3  26448  hlperpnel  26525  colperpexlem3  26532  mideulem2  26534  lmieu  26584  lmiisolem  26596
 Copyright terms: Public domain W3C validator