MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineelsb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineelsb2 28551
Description: If 𝑆 lies on PQ , then PQ = PS . Theorem 6.16 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglineelsb2.3 (𝜑𝑆𝐵)
tglineelsb2.5 (𝜑𝑆𝑃)
tglineelsb2.6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
Assertion
Ref Expression
tglineelsb2 (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Proof of Theorem tglineelsb2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tglineelsb2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglineelsb2.1 . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
76adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃𝐵)
8 tglineelsb2.3 . . . . 5 (𝜑𝑆𝐵)
98adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆𝐵)
10 tglineelsb2.5 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑃)
1110necomd 2985 . . . . 5 (𝜑𝑃𝑆)
1211adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃𝑆)
13 tglineelsb2.2 . . . . 5 (𝜑𝑄𝐵)
1413adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄𝐵)
15 tglineelsb2.4 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝑄)
1615necomd 2985 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑃)
1716adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄𝑃)
18 tglineelsb2.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
1918adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
201, 2, 3, 5, 14, 7, 9, 17, 19lncom 28541 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑄𝐿𝑃))
211, 2, 3, 5, 7, 9, 14, 12, 20, 17lnrot1 28542 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
221, 3, 2, 4, 6, 13, 15tglnssp 28471 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) ⊆ 𝐵)
2322sselda 3978 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥𝐵)
24 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
251, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21, 23, 24tglineeltr 28550 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
264adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
276adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃𝐵)
2813adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑄𝐵)
2915adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃𝑄)
308adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆𝐵)
3110adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆𝑃)
3218adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
331, 3, 2, 4, 6, 8, 11tglnssp 28471 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐿𝑆) ⊆ 𝐵)
3433sselda 3978 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥𝐵)
35 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
361, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35tglineeltr 28550 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
3725, 36impbida 799 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)))
3837eqrdv 2723 1 (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  TarskiGcstrkg 28346  Itvcitv 28352  LineGclng 28353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-pm 8857  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9940  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-xnn0 12592  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-hash 14343  df-word 14518  df-concat 14574  df-s1 14599  df-s2 14852  df-s3 14853  df-trkgc 28367  df-trkgb 28368  df-trkgcb 28369  df-trkg 28372  df-cgrg 28430
This theorem is referenced by:  tglinethru  28555  ncolncol  28565  coltr3  28567  hlperpnel  28644  colperpexlem3  28651  mideulem2  28653  lmieu  28703  lmiisolem  28715
  Copyright terms: Public domain W3C validator