Theorem tglineelsb2 25983

Description: If 𝑆 lies on PQ , then PQ = PS . Theorem 6.16 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglineelsb2.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
tglineelsb2.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Assertion

Ref	Expression
tglineelsb2	⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Proof of Theorem tglineelsb2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineelsb2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		tglineelsb2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
10		tglineelsb2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃)
11	10	necomd 3024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑆)
12	11	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑆)
13		tglineelsb2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
15		tglineelsb2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
16	15	necomd 3024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑃)
17	16	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ≠ 𝑃)
18		tglineelsb2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
19	18	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
20	1, 2, 3, 5, 14, 7, 9, 17, 19	lncom 25973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑄𝐿𝑃))
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14, 12, 20, 17	lnrot1 25974	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
22	1, 3, 2, 4, 6, 13, 15	tglnssp 25903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3821	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21, 23, 24	tglineeltr 25982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
26	4	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	6	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
28	13	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
29	15	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
30	8	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐵)
31	10	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ≠ 𝑃)
32	18	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
33	1, 3, 2, 4, 6, 8, 11	tglnssp 25903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑆) ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3821	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
36	1, 2, 3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35	tglineeltr 25982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
37	25, 36	impbida 791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃𝐿𝑆)))
38	37	eqrdv 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑃𝐿𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  TarskiGcstrkg 25781  Itvcitv 25787  LineGclng 25788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkg 25804  df-cgrg 25862

This theorem is referenced by:  tglinethru  25987  ncolncol  25997  coltr3  25999  hlperpnel  26073  colperpexlem3  26080  mideulem2  26082  lmieu  26132  lmiisolem  26144