Theorem tgextamirn 33067

Description: The midpoint-reflected point is off line 𝐴𝐶. If it were on that line, mirln 29148-- whose centre-on-the-line hypothesis is the midpoint, itself on 𝐴𝐶-- would put its reflection there too, and mirmir 29134 says that reflection is 𝐵, contradicting the triangle's non-collinearity. This is the strengthening inA cannot give: it is what turns "inside the angle" into an open half-plane fact. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgmircgrg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgmircgrg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgmircgrg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgmircgrg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgmircgrg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgmircgrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgmircgrg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgmircgrg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgmircgrg.ncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
tgextamirn	⊢ (𝜑 → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶))

Proof of Theorem tgextamirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgmircgrg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgmircgrg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tgmircgrg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgmircgrg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgmircgrg.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
6		tgmircgrg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgmircgrg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgmircgrg.ncol	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
9	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	ncolrot1 29025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ncolcom 29024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
11		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶) ↔ (¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐶))
12	10, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐶))
13	12	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
14		tgmircgrg.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	ncoltgdim2 29028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
18	1, 14, 3, 4, 17, 6, 5	midcl 29282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑃)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑃)
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))
21	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
22	1, 14, 3, 2, 15, 16, 19, 20, 21	mirmir 29134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵)) = 𝐵)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
24	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))
26	1, 3, 2, 4, 6, 7, 5, 8	ncolne2 29094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
27	1, 3, 2, 4, 6, 5, 26	tgelrnln 29098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶) ∈ ran 𝐿)
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (𝐴𝐿𝐶) ∈ ran 𝐿)
29	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	ncoltgdim2 29028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
30	1, 14, 3, 4, 29, 6, 5	midcl 29282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑃)
31	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	ncoltgdim2 29028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
32	1, 14, 3, 4, 31, 6, 5	midbtwn 29284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ (𝐴𝐼𝐶))
33	1, 2, 3, 4, 6, 5, 30, 32	btwncolg1 29018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
34	1, 3, 2, 4, 6, 7, 5, 8	ncolne2 29094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
35	34	neneqd 2960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐶)
36	33, 35	olcnd 891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
38		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
39	1, 14, 3, 2, 23, 24, 25, 28, 37, 38	mirln 29148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵)) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
40	22, 39	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
41	13, 40	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  pInvGcmir 29124  midGcmid 29277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkgld 28914  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171  df-mid 29279

This theorem is used by:  tgextahp  33073