Theorem tgextamirn 33097

Description: The midpoint-reflected point is off line 𝐴𝐶. If it were on that line, mirln 29178-- whose centre-on-the-line hypothesis is the midpoint, itself on 𝐴𝐶-- would put its reflection there too, and mirmir 29164 says that reflection is 𝐵, contradicting the triangle's non-collinearity. This is the strengthening inA cannot give: it is what turns "inside the angle" into an open half-plane fact. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgmircgrg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgmircgrg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgmircgrg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgmircgrg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgmircgrg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgmircgrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgmircgrg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgmircgrg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgmircgrg.ncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
tgextamirn	⊢ (𝜑 → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶))

Proof of Theorem tgextamirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgmircgrg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgmircgrg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tgmircgrg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgmircgrg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgmircgrg.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
6		tgmircgrg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgmircgrg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgmircgrg.ncol	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
9	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	ncolrot1 29055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ncolcom 29054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
11		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶) ↔ (¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐶))
12	10, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐶))
13	12	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
14		tgmircgrg.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	ncoltgdim2 29058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
18	1, 14, 3, 4, 17, 6, 5	midcl 29312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑃)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑃)
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))
21	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
22	1, 14, 3, 2, 15, 16, 19, 20, 21	mirmir 29164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵)) = 𝐵)
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
24	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))
26	1, 3, 2, 4, 6, 7, 5, 8	ncolne2 29124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
27	1, 3, 2, 4, 6, 5, 26	tgelrnln 29128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶) ∈ ran 𝐿)
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (𝐴𝐿𝐶) ∈ ran 𝐿)
29	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	ncoltgdim2 29058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
30	1, 14, 3, 4, 29, 6, 5	midcl 29312	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑃)
31	1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 8	ncoltgdim2 29058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
32	1, 14, 3, 4, 31, 6, 5	midbtwn 29314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ (𝐴𝐼𝐶))
33	1, 2, 3, 4, 6, 5, 30, 32	btwncolg1 29048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
34	1, 3, 2, 4, 6, 7, 5, 8	ncolne2 29124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
35	34	neneqd 2964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐶)
36	33, 35	olcnd 891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐶) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
38		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
39	1, 14, 3, 2, 23, 24, 25, 28, 37, 38	mirln 29178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵)) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
40	22, 39	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
41	13, 40	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐶))‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ran crn 5656  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  pInvGcmir 29154  midGcmid 29307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkgld 28944  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-leg 29076  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201  df-mid 29309

This theorem is used by:  tgextahp  33103