Theorem topclat 48087

Description: A topology is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
topclat	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem topclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2	1	ipobas 18530	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18535	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ Poset)
7		uniopn 22819	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽)
8		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
9		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝐽)
10		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
11		intmin 4975	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐽 → ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦} = ∪ 𝑥)
12	11	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐽 → ∪ 𝑥 = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑥 = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
14	1, 8, 9, 10, 13	ipolubdm 48076	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝐽))
15	7, 14	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
16		ssrab2 4077	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ⊆ 𝐽
17		uniopn 22819	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽)
18	8, 16, 17	sylancl 584	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽)
19		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
20		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
21	1, 8, 9, 19, 20	ipoglbdm 48079	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽))
22	18, 21	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
23	2, 3, 4, 6, 15, 22	isclatd 48072	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4912  ∩ cint 4953  dom cdm 5682  ‘cfv 6553  Posetcpo 18306  lubclub 18308  glbcglb 18309  CLatccla 18497  toInccipo 18526  Topctop 22815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ocomp 17261  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346  df-clat 18498  df-ipo 18527  df-top 22816

This theorem is referenced by:  topdlat  48093