Theorem topclat 49488

Description: A topology is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
topclat	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem topclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2	1	ipobas 18491	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18496	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ Poset)
7		uniopn 22875	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝐽)
10		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
11		intmin 4911	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐽 → ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦} = ∪ 𝑥)
12	11	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐽 → ∪ 𝑥 = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑥 = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
14	1, 8, 9, 10, 13	ipolubdm 49477	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝐽))
15	7, 14	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
16		ssrab2 4021	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ⊆ 𝐽
17		uniopn 22875	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽)
18	8, 16, 17	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽)
19		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
20		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
21	1, 8, 9, 19, 20	ipoglbdm 49480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽))
22	18, 21	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
23	2, 3, 4, 6, 15, 22	isclatd 49473	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  Posetcpo 18267  lubclub 18269  glbcglb 18270  CLatccla 18458  toInccipo 18487  Topctop 22871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ocomp 17235  df-proset 18254  df-poset 18273  df-lub 18304  df-glb 18305  df-clat 18459  df-ipo 18488  df-top 22872

This theorem is referenced by:  topdlat  49494