Theorem topclat 49619

Description: A topology is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
topclat	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem topclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2	1	ipobas 18563	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18568	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ Poset)
7		uniopn 22957	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽)
8		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
9		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝐽)
10		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
11		intmin 4926	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐽 → ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦} = ∪ 𝑥)
12	11	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐽 → ∪ 𝑥 = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑥 = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
14	1, 8, 9, 10, 13	ipolubdm 49608	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝐽))
15	7, 14	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
16		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ⊆ 𝐽
17		uniopn 22957	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽)
18	8, 16, 17	sylancl 595	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽)
19		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
20		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
21	1, 8, 9, 19, 20	ipoglbdm 49611	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽))
22	18, 21	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
23	2, 3, 4, 6, 15, 22	isclatd 49604	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4865  ∩ cint 4905  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  Posetcpo 18339  lubclub 18341  glbcglb 18342  CLatccla 18530  toInccipo 18559  Topctop 22953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ocomp 17307  df-proset 18326  df-poset 18345  df-lub 18376  df-glb 18377  df-clat 18531  df-ipo 18560  df-top 22954

This theorem is referenced by:  topdlat  49625