Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  topclat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topclat 47879
Description: A topology is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
topclat.i 𝐼 = (toIncβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
topclat (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem topclat
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topclat.i . . 3 𝐼 = (toIncβ€˜π½)
21ipobas 18493 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 = (Baseβ€˜πΌ))
3 eqidd 2727 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (lubβ€˜πΌ) = (lubβ€˜πΌ))
4 eqidd 2727 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (glbβ€˜πΌ) = (glbβ€˜πΌ))
51ipopos 18498 . . 3 𝐼 ∈ Poset
65a1i 11 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐼 ∈ Poset)
7 uniopn 22749 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐽)
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 simpr 484 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐽)
10 eqidd 2727 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ (lubβ€˜πΌ) = (lubβ€˜πΌ))
11 intmin 4965 . . . . . 6 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑦} = βˆͺ π‘₯)
1211eqcomd 2732 . . . . 5 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ βˆͺ π‘₯ = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑦})
137, 12syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ π‘₯ = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑦})
141, 8, 9, 10, 13ipolubdm 47868 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ dom (lubβ€˜πΌ) ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐽))
157, 14mpbird 257 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ dom (lubβ€˜πΌ))
16 ssrab2 4072 . . . 4 {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 βŠ† ∩ π‘₯} βŠ† 𝐽
17 uniopn 22749 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 βŠ† ∩ π‘₯} βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 βŠ† ∩ π‘₯} ∈ 𝐽)
188, 16, 17sylancl 585 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 βŠ† ∩ π‘₯} ∈ 𝐽)
19 eqidd 2727 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ (glbβ€˜πΌ) = (glbβ€˜πΌ))
20 eqidd 2727 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 βŠ† ∩ π‘₯} = βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 βŠ† ∩ π‘₯})
211, 8, 9, 19, 20ipoglbdm 47871 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ dom (glbβ€˜πΌ) ↔ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 βŠ† ∩ π‘₯} ∈ 𝐽))
2218, 21mpbird 257 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ βŠ† 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ dom (glbβ€˜πΌ))
232, 3, 4, 6, 15, 22isclatd 47864 1 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐼 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  βˆ© cint 4943  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  Posetcpo 18269  lubclub 18271  glbcglb 18272  CLatccla 18460  toInccipo 18489  Topctop 22745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ocomp 17224  df-proset 18257  df-poset 18275  df-lub 18308  df-glb 18309  df-clat 18461  df-ipo 18490  df-top 22746
This theorem is referenced by:  topdlat  47885
  Copyright terms: Public domain W3C validator