Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  topclat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topclat 48670
Description: A topology is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
topclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
topclat (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem topclat
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topclat.i . . 3 𝐼 = (toInc‘𝐽)
21ipobas 18601 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (Base‘𝐼))
3 eqidd 2741 . 2 (𝐽 ∈ Top → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4 eqidd 2741 . 2 (𝐽 ∈ Top → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
51ipopos 18606 . . 3 𝐼 ∈ Poset
65a1i 11 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ Poset)
7 uniopn 22924 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
9 simpr 484 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
10 eqidd 2741 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
11 intmin 4992 . . . . . 6 ( 𝑥𝐽 {𝑦𝐽 𝑥𝑦} = 𝑥)
1211eqcomd 2746 . . . . 5 ( 𝑥𝐽 𝑥 = {𝑦𝐽 𝑥𝑦})
137, 12syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 = {𝑦𝐽 𝑥𝑦})
141, 8, 9, 10, 13ipolubdm 48659 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ 𝑥𝐽))
157, 14mpbird 257 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
16 ssrab2 4103 . . . 4 {𝑦𝐽𝑦 𝑥} ⊆ 𝐽
17 uniopn 22924 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦𝐽𝑦 𝑥} ⊆ 𝐽) → {𝑦𝐽𝑦 𝑥} ∈ 𝐽)
188, 16, 17sylancl 585 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → {𝑦𝐽𝑦 𝑥} ∈ 𝐽)
19 eqidd 2741 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
20 eqidd 2741 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → {𝑦𝐽𝑦 𝑥} = {𝑦𝐽𝑦 𝑥})
211, 8, 9, 19, 20ipoglbdm 48662 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ {𝑦𝐽𝑦 𝑥} ∈ 𝐽))
2218, 21mpbird 257 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
232, 3, 4, 6, 15, 22isclatd 48655 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  {crab 3443  wss 3976   cuni 4931   cint 4970  dom cdm 5700  cfv 6573  Posetcpo 18377  lubclub 18379  glbcglb 18380  CLatccla 18568  toInccipo 18597  Topctop 22920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ocomp 17332  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-clat 18569  df-ipo 18598  df-top 22921
This theorem is referenced by:  topdlat  48676
  Copyright terms: Public domain W3C validator