Theorem topclat 48990

Description: A topology is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
topclat	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem topclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2	1	ipobas 18497	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18502	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ Poset)
7		uniopn 22791	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝐽)
10		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
11		intmin 4935	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐽 → ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦} = ∪ 𝑥)
12	11	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐽 → ∪ 𝑥 = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑥 = ∩ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
14	1, 8, 9, 10, 13	ipolubdm 48979	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝐽))
15	7, 14	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
16		ssrab2 4046	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ⊆ 𝐽
17		uniopn 22791	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽)
18	8, 16, 17	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽)
19		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
20		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
21	1, 8, 9, 19, 20	ipoglbdm 48982	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐽))
22	18, 21	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ 𝐽) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
23	2, 3, 4, 6, 15, 22	isclatd 48975	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874  ∩ cint 4913  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  Posetcpo 18275  lubclub 18277  glbcglb 18278  CLatccla 18464  toInccipo 18493  Topctop 22787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ocomp 17248  df-proset 18262  df-poset 18281  df-lub 18312  df-glb 18313  df-clat 18465  df-ipo 18494  df-top 22788

This theorem is referenced by:  topdlat  48996